Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de boldsymbol{y} quando boldsymbol{t} \rightarrow \infty.
boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{y}-\mathbf{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial autônoma \;y' = y - 2,
e, a partir desse campo, concluir o comportamento de y(t) quando t \to \infty.

Passo 2

Identificamos o ponto de equilíbrio (ou ponto crítico) resolvendo
y - 2 = 0
logo, o equilíbrio é \;y = 2.

Passo 3

Analisamos o sinal de y' = y - 2:
– Se y > 2, então y' > 0 e as setas do campo apontam para cima.
– Se y < 2, então y' < 0 e as setas apontam para baixo.
– Se y = 2, então y' = 0 e as setas são horizontais.

Passo 4

Para desenhar o campo de direções, em cada ponto (t,y) desenhe um pequeno segmento com inclinação igual a y-2. Você verá uma linha de segmentos horizontais em y=2, segmentos inclinados para cima acima de y=2 e para baixo abaixo de y=2.

Passo 5

Esse equilíbrio em y=2 é instável (é um repulsor):
– Qualquer solução com condição inicial y(0)>2 escapa para cima.
– Qualquer solução com y(0)<2 escapa para baixo.
– Se y(0)=2, a solução fica constante em y(t)=2.

Resposta

Se y(0)>2, então \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=+\infty.
Se y(0)<2, então \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=-\infty.
Se y(0)=2, então y(t)=2 para todo t.

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