Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial autônoma
,
e, a partir desse campo, concluir o comportamento de quando
.
e, a partir desse campo, concluir o comportamento de
Passo 2
Identificamos o ponto de equilíbrio (ou ponto crítico) resolvendo
logo, o equilíbrio é
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
– Se , então
e as setas do campo apontam para cima.
– Se , então
e as setas apontam para baixo.
– Se , então
e as setas são horizontais.
– Se
– Se
– Se
Passo 4
Para desenhar o campo de direções, em cada ponto
desenhe um pequeno segmento com inclinação igual a
. Você verá uma linha de segmentos horizontais em
, segmentos inclinados para cima acima de
e para baixo abaixo de
.
Passo 5
Esse equilíbrio em
é instável (é um repulsor):
– Qualquer solução com condição inicial escapa para cima.
– Qualquer solução com escapa para baixo.
– Se , a solução fica constante em
.
– Qualquer solução com condição inicial
– Qualquer solução com
– Se
Resposta
Se
, então
.
Se , então
.
Se , então
para todo
.
Se
Se