Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da EDO autônoma
e, a partir dele, determinar o que acontece com
quando
. O conteúdo é análise qualitativa de soluções de EDOs autônomas, usando pontos de equilíbrio e sinais de
.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
Logo os equilíbrios são
Passo 3
Analisar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos equilíbrios:
— Para
:
e
, logo
(setas apontam para cima).
— Para :
mas
, logo
(setas para baixo).
— Para :
e
, então
(setas para cima).
— Para
— Para
Passo 4
Esboço qualitativo do campo de direções ao longo de retas horizontais:
— Na linha e em
as setas são horizontais (slope zero).
— Acima de as setas sobem (positivo).
— Entre e
elas descem.
— Abaixo de elas sobem de novo.
— Na linha
— Acima de
— Entre
— Abaixo de
Esse esqueleto mostra que soluções tendem a se afastar de
e convergem para
sempre que começam fora de
.
Passo 5
Concluir o comportamento para
conforme a condição inicial
:
— Se
, então
e
cresce sem limite (explode para
, possivelmente em tempo finito).
— Se , permanece em
(equilíbrio instável).
— Se , qualquer que seja (seja
ou
), as setas apontam para
, que é um equilíbrio assintoticamente estável. Logo
— Se
— Se
Resposta
Para
:
— Se , então
.
— Se , então
.
— Se , então
.
— Se
— Se
— Se