Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de boldsymbol{y} quando boldsymbol{t} \rightarrow \infty.
boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{y}+3)

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da EDO autônoma
y' = y\,(y+3)
e, a partir dele, determinar o que acontece com y(t) quando t \to \infty. O conteúdo é análise qualitativa de soluções de EDOs autônomas, usando pontos de equilíbrio e sinais de y'.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
y(y+3)=0.
Logo os equilíbrios são
y=0 \quad\text{e}\quad y=-3.

Passo 3

Analisar o sinal de y' em cada intervalo determinado pelos equilíbrios:
— Para y>-0: y>0 e y+3>3>0, logo y'>0 (setas apontam para cima).
— Para -3<y<0: y<0 mas y+3>0, logo y'<0 (setas para baixo).
— Para y<-3: y<0 e y+3<0, então y'>0 (setas para cima).

Passo 4

Esboço qualitativo do campo de direções ao longo de retas horizontais:
— Na linha y=0 e em y=-3 as setas são horizontais (slope zero).
— Acima de y=0 as setas sobem (positivo).
— Entre -3 e 0 elas descem.
— Abaixo de -3 elas sobem de novo.
Esse esqueleto mostra que soluções tendem a se afastar de y=0 e convergem para y=-3 sempre que começam fora de [0,\infty).

Passo 5

Concluir o comportamento para t\to\infty conforme a condição inicial y(0)=y_0:
— Se y_0>0, então y'>0 e y(t) cresce sem limite (explode para +\infty, possivelmente em tempo finito).
— Se y_0=0, permanece em y(t)\equiv0 (equilíbrio instável).
— Se y_0<0, qualquer que seja (seja -3<y_0<0 ou y_0<-3), as setas apontam para y=-3, que é um equilíbrio assintoticamente estável. Logo
\lim_{t\to\infty}y(t)=-3.

Resposta

Para t\to\infty:
— Se y(0)>0, então y(t)\to+\infty.
— Se y(0)=0, então y(t)\equiv0.
— Se y(0)<0, então y(t)\to-3.

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