Qual é a probabilidade de uma variável aleatória normal X com média \mu=0 e desvio padrão \sigma =1 estar entre -1 e 1 ?

Passo 1

O enunciado nos diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, média \mu=0 e desvio-padrão \sigma=1. Precisamos encontrar
P(-1 \le X \le 1).

Passo 2

Para variáveis normais padrão, definimos a função de distribuição acumulada
\Phi(x) = P(X \le x).
Então
P(-1 \le X \le 1) = \Phi(1) - \Phi(-1).

Passo 3

Como a distribuição normal padrão é simétrica em torno de zero, vale
\Phi(-1) = 1 - \Phi(1).
Substituindo em P(-1 \le X \le 1), obtemos
P(-1 \le X \le 1) = \Phi(1) - \bigl(1 - \Phi(1)\bigr) = 2\,\Phi(1) - 1.

Passo 4

Consultando uma tabela de valores da normal padrão, vemos que
\Phi(1) \approx 0,8413.
Logo
P(-1 \le X \le 1) = 2 \times 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}6826, ou seja, cerca de 68{,}26\%.

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