Qual é a probabilidade de uma variável aleatória normal X com média \mu=5 e desvio padrão \sigma =2 estar entre 3 e 7?

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=5 e desvio-padrão \sigma=2. Queremos calcular
P(3 < X < 7).

Passo 2

Para resolver, vamos padronizar X definindo
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.
Assim, probabilidades envolvendo X se traduzem em probabilidades envolvendo Z, que segue a normal padrão N(0,1).

Passo 3

Aplicando a padronização ao intervalo 3 < X < 7, obtemos
P(3 < X < 7) = P\!\Bigl(\frac{3-5}{2} < Z < \frac{7-5}{2}\Bigr) = P(-1 < Z < 1).

Passo 4

Sabendo que P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) e usando a simetria da normal padrão \Phi(-1)=1-\Phi(1), temos
P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \bigl(1 - \Phi(1)\bigr) = 2\,\Phi(1) - 1.

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(1)\approx0{,}8413. Logo,
P(3 < X < 7) = 2 \times 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826.

Resposta

A probabilidade buscada é aproximadamente 0{,}6826 (ou cerca de 68,26 %).

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