Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
6. t y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} t, \quad t>0
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
6. t y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} t, \quad t>0
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear de primeira ordem
e pede: (i) desenhar o campo de direções, (ii) a partir dele descrever o comportamento das soluções para
grande, (iii) encontrar a solução geral e (iv) usar essa forma explícita para confirmar o comportamento quando
. O conteúdo necessário é o estudo qualitativo de campos de direções e a resolução de EDOs lineares com fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita de inclinação, temos
Assim, num ponto
o vetor direcional tem inclinação
. A curva de inclinação zero (nullcline) satisfaz
que oscila entre
e
. Para pontos acima dessa curva,
é negativo (setas apontam para baixo); para pontos abaixo,
é positivo (setas apontam para cima).
Passo 3
Para
grande, o termo
é
e o termo
também decresce com
. Logo as inclinações
tornam-se muito pequenas e as setas do campo ficam quase horizontais. Além disso, como o coeficiente de feedback é
, há uma tendência a “puxar”
em direção à curva
, mas essa curva também oscila com amplitude que não cresce. Na prática, as soluções oscilam com amplitude decrescente e tendem a uma linha horizontal. Da análise simplificada
defronte a
, espera-se decaimento de
a zero.
Passo 4
Para confirmar, resolvemos a EDO por fator integrante. Dividimos por
:
O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
:
Integrando ambos os lados:
Portanto a solução geral é
Passo 5
Para
cada termo se anula:
Logo
Resposta
O campo de direções é dado por
com nullcline
. Para
grande as setas ficam quase horizontais e as soluções oscilam com amplitude decrescente. A solução geral é
e todas as soluções satisfazem
.