Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t infty.
6. t y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} t, \quad t>0

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear de primeira ordem
t,y' + 2,y = sin t, t>0,
e pede: (i) desenhar o campo de direções, (ii) a partir dele descrever o comportamento das soluções para t grande, (iii) encontrar a solução geral e (iv) usar essa forma explícita para confirmar o comportamento quando ttoinfty. O conteúdo necessário é o estudo qualitativo de campos de direções e a resolução de EDOs lineares com fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de inclinação, temos
y' = sin t - 2yt
Assim, num ponto (t,y) o vetor direcional tem inclinação y'=(sin t)/t - (2/t),y. A curva de inclinação zero (nullcline) satisfaz
0 = sin t - 2yt Longrightarrow y = sin t2,
que oscila entre -tfrac12 e +tfrac12. Para pontos acima dessa curva, y' é negativo (setas apontam para baixo); para pontos abaixo, y' é positivo (setas apontam para cima).

Passo 3

Para t grande, o termo sin t/t é O(1/t) e o termo (2y)/t também decresce com t. Logo as inclinações y' tornam-se muito pequenas e as setas do campo ficam quase horizontais. Além disso, como o coeficiente de feedback é -2/t, há uma tendência a “puxar” y em direção à curva y=sin t/2, mas essa curva também oscila com amplitude que não cresce. Na prática, as soluções oscilam com amplitude decrescente e tendem a uma linha horizontal. Da análise simplificada y' approx -2y/t defronte a sin t/t, espera-se decaimento de y a zero.

Passo 4

Para confirmar, resolvemos a EDO por fator integrante. Dividimos por t:
y' + 2t,y = sin tt
O fator integrante é
mu(t) = expl(integral tfrac2t,dtr) = t^2
Multiplicando toda a equação por t^2:
(t^2 y)' = t^2,y' + 2t,y = t,sin t
Integrando ambos os lados:
t^2,y = integral tsin t,dt = -tcos t + sin t + C
Portanto a solução geral é
boxed y(t) = -cos tt + sin tt^2 + Ct^2

Passo 5

Para ttoinfty cada termo se anula:
-cos ttto0, sin tt^2to0, Ct^2to0
Logo
limttoinftyy(t)=0

Resposta

O campo de direções é dado por
y' = sin t - 2yt,
com nullcline y=tfracsin t2. Para t grande as setas ficam quase horizontais e as soluções oscilam com amplitude decrescente. A solução geral é
y(t) = -cos tt + sin tt^2 + Ct^2,
e todas as soluções satisfazem limttoinftyy(t)=0.

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