Verifique se os limites existem:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
lim(x,y)to(1,0)(x-1)^2y(x-1)^4+y^2
Aqui o conteúdo é limite de função de duas variáveis e a ideia principal é testar diferentes caminhos de aproximação a (1,0): se acharmos duas curvas que levem a valores distintos, o limite não existe.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar por y=0. Nesse caso, sempre que y=0 e xto1,
(x-1)^2cdot 0(x-1)^4+0^2 = 0
Logo, pela reta y=0, o limite é
lim(x,y)to(1,0),,y=0 (x-1)^2y(x-1)^4+y^2 = 0

Passo 3

Agora aproximamos por y=(x-1)^2. Chamando u=x-1, então y=u^2 e uto0. Substituindo,
u^2cdot u^2u^4 + (u^2)^2 = u^4u^4+u^4 = u^42,u^4 = tfrac12
Portanto, por essa parábola,
lim(x,y)to(1,0),,y=(x-1)^2 (x-1)^2y(x-1)^4+y^2 = tfrac12
Como obtemos 0 por um caminho e tfrac12 por outro, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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