Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
17. y^{\prime}-2 y=e^{2}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante e condição inicial:
y' - 2y = e^2, y(0)=2
O conteúdo aqui é resolução de equação linear de primeira ordem usando o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral -2,dx = e^-2x
Multiplicando a equação original por mu(x) temos
e^-2xy' - 2e^-2xy = e^2e^-2x
O lado esquerdo é justamente o derivado de mu(x)y:
ddxl(e^-2xyr) = e^2e^-2x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-2xy = integral e^2e^-2x,dx + C = e^2integral e^-2x,dx + C = e^2l(-tfrac12e^-2xr) + C = -e^22e^-2x + C

Passo 4

Isolamos y multiplicando por e^2x:
y = -e^22 + C,e^2x
Para ajustar a condição inicial y(0)=2, substituímos x=0:
2 = -e^22 + C Longrightarrow C = 2 + e^22

Passo 5

Substituindo o valor de C na solução geral, obtemos
y(x) = -e^22 + l(2 + e^22r)e^2x

Resposta

y(x) = -e^22 + l(2 + e^22r)e^2x

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