Seja R a região limitada pela curva y=x^{3} e pelas retas y=8 e x=0. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
da \operatorname{reta} x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=2, a região R limitada por y=x^3, y=8 e x=0.
O conteúdo aqui é volume por revolução em torno de uma reta vertical deslocada; vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é eficiente quando rodamos em torno de uma linha paralela ao eixo y.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas tomamos uma fatia vertical em x\in[0,2].
  • A altura da casca é h(x)=y_{\text{topo}}-y_{\text{fundo}}=8 - x^3.
  • O raio da casca, medida até a reta x=2, é r(x)=2 - x.
  • A espessura é dx.

Passo 3

O volume total fica
V \;=\; 2\pi \int_{0}^{2} r(x)\,h(x)\,dx \;=\; 2\pi \int_{0}^{2} (2 - x)\,(8 - x^3)\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(2 - x)(8 - x^3) =16 -8x -2x^3 + x^4.
Logo
V = 2\pi \int_{0}^{2} \bigl(16 -8x -2x^3 + x^4\bigr)\,dx.
Uma antiderivada é
F(x)=16x -4x^2 -\tfrac12x^4 + \tfrac15x^5.

Passo 5

Avaliando de 0 a 2:
F(2)=16\cdot2 -4\cdot2^2 -\tfrac12\cdot2^4 + \tfrac15\cdot2^5 =32 -16 -8 + \tfrac{32}{5} = \tfrac{72}{5}.
Portanto
V = 2\pi \cdot \tfrac{72}{5} = \tfrac{144\pi}{5}.

Resposta

\frac{144\pi}{5}

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