Desenhe as cônicas
x^{2}-2 x+4 y-4=0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a cônica dada por
x^{2} - 2x + 4y - 4 = 0
Este é um polinômio de segundo grau em x e y sem termo y^{2}, logo esperamos uma parábola. Para desenhar, vamos completar o quadrado em x, isolar y e identificar vértice, foco, diretriz e reta-látero.

Passo 2

Complete o quadrado em x. Escrevendo
x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1
substituímos na equação original:
(x - 1)^{2} - 1 + 4y - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)^{2} + 4y - 5 = 0.

Passo 3

Isole y:
4y = 5 - (x - 1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{4}(x - 1)^{2} + \frac{5}{4}.
Para passar à forma canônica de parábola vertical, reorganize:
(x - 1)^{2} = -4\Bigl(y - \frac{5}{4}\Bigr).
Aqui temos (x-h)^{2}=4p(y-k) com h=1, k=\tfrac{5}{4} e 4p=-4, logo p=-1.

Passo 4

Dos valores obtidos:
– Vértice (h,k) = \bigl(1,\tfrac{5}{4}\bigr).
– Parâmetro focal p=-1, indica abertura para baixo.
– Foco: \bigl(h,\,k+p\bigr)=\bigl(1,\tfrac{5}{4}-1\bigr)=\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr).
– Diretriz: y = k - p = \tfrac{5}{4} + 1 = \tfrac{9}{4}.
– Reta-látero tem comprimento \lvert4p\rvert=4 e está centrada no foco; seus extremos são \bigl(h\pm 2,\,k+p\bigr)=(3,\tfrac{1}{4}) e (-1,\tfrac{1}{4}).

Passo 5

Para esboçar a parábola: marque o vértice \bigl(1,\tfrac{5}{4}\bigr), o foco \bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr), a diretriz y=\tfrac{9}{4} e os pontos da reta-látero em (3,\tfrac{1}{4}) e (-1,\tfrac{1}{4}). Trace a curva simétrica em relação à reta x=1, abrindo para baixo e passando por esses pontos.

Resposta

A curva é uma parábola vertical de vértice \bigl(1,\tfrac{5}{4}\bigr), foco em \bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr), diretriz y=\tfrac{9}{4} e reta-látero de comprimento 4 com extremos em (3,\tfrac{1}{4}) e (-1,\tfrac{1}{4}).

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