Exercício 3 Considere a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6}
Diga qual é o domínio natural de f.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio natural da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6}
Isto envolve duas restrições: (i) o radicando x^{2}-4 deve ser não-negativo para a raiz quadrada e (ii) o denominador x+6 não pode ser zero.

Passo 2

Impondo a condição de existência da raiz, requeremos
x^{2}-4 \ge 0.
Fatorando, temos
(x-2)(x+2)\ge 0,
cuja solução é
x\le -2\quad\text{ou}\quad x\ge 2.

Passo 3

Impondo a condição de denominador não nulo, temos
x+6 \neq 0
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x \neq -6.

Passo 4

O domínio natural é a interseção de \{x\mid x\le -2\text{ ou }x\ge 2\} com \{x\mid x\neq -6\}. Isto dá
(-\infty,-6)\,\cup\,(-6,-2]\,\cup\,[2,\infty).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-6)\,\cup\,(-6,-2]\,\cup\,[2,\infty).

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