Desenhe as cônicas
x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0
que envolve termos quadráticos em x e y. O conteúdo é completar quadrados para colocar nessa equação na forma padrão de uma circunferência e, em seguida, desenhá-la.

Passo 2

Agrupamos os termos de x e de y e o termo constante:
(x^{2}-2x)+(y^{2}-4y)+4=0.
Agora vamos completar o quadrado em cada grupo.

Passo 3

Para x^{2}-2x adicionamos e subtraímos \bigl(\tfrac{2}{2}\bigr)^{2}=1, e para y^{2}-4y fazemos o mesmo com \bigl(\tfrac{4}{2}\bigr)^{2}=4:
(x^{2}-2x+1-1)+(y^{2}-4y+4-4)+4=0.
Reagrupando:
(x-1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4+4=0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}-1=0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1.

Passo 4

A forma
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1
é a equação de uma circunferência de centro (1,2) e raio 1. Para desenhar:
  • Trace os eixos x e y.
  • Marque o ponto C=(1,2).
  • A partir de C, marque os pontos cardeais a uma unidade:
    (2,2), (0,2), (1,3), (1,1).
  • Una suavemente esses pontos formando o círculo.

Resposta

A curva é a circunferência de centro (1,2) e raio 1. Seu desenho no plano é:
y

4| \cdot 3| \cdot\cdot 2| \cdot\cdot\cdot C \cdot\cdot\cdot ← eixo x (marcados (0,2), (1,2), (2,2))
1| \cdot\cdot 0| ·
└─0─1─2─ 3\to x
onde C é o centro (1,2) e os pontos na circunferência estão a distância 1 de C.

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