Esboce a curva e encontre a área da região delimitada por ela.
r=2 \cos (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares por
r = 2\cos(2\theta)
e calcular a área da região por ela delimitada. Vamos usar o fato de que essa curva é uma “rosa” de 4 pétalas e a fórmula de área em coordenadas polares:
A = \frac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta.

Passo 2

Identificamos os zeros de r resolvendo \cos(2\theta)=0, ou seja,
2\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},
para k\in\mathbb{Z}. Esses valores dividem o intervalo [0,2\pi] em quatro arcos onde \cos(2\theta) é alternadamente positivo ou negativo, correspondendo às 4 pétalas.

Passo 3

No intervalo em que \cos(2\theta)\ge0, por exemplo -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4},
temos uma pétala cuja ponta ocorre em \theta=0 com r_{\max}=2. As outras pétalas são iguais, giradas de \pi/2 em \pi/2. O esboço é uma rosa de 4 pétalas de raio 2, alinhadas aos eixos.

Passo 4

Vamos calcular a área de uma pétala tomando \theta de -\tfrac{\pi}{4} a \tfrac{\pi}{4}:
A_{\text{p}} = \frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\bigl(2\cos(2\theta)\bigr)^2\,d\theta = \frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}4\cos^2(2\theta)\,d\theta =2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta.

Passo 5

Usamos a identidade \cos^2u=\tfrac12(1+\cos2u):
\int\cos^2(2\theta)\,d\theta =\frac12\int\bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta =\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(4\theta)}{8}.
Avaliaremos de -\tfrac{\pi}{4} a \tfrac{\pi}{4}:
\Bigl[\tfrac{\theta}{2}+\tfrac{\sin(4\theta)}{8}\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4} =\Bigl(\tfrac{\pi}{8}+0\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{\pi}{8}+0\Bigr) =\tfrac{\pi}{4}.
Logo
A_{\text{p}} = 2\cdot\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Como há 4 pétalas idênticas, a área total é
A = 4\,A_{\text{p}} = 4\cdot\tfrac{\pi}{2} = 2\pi.

Resposta

A área da região delimitada pela curva r=2\cos(2\theta) é 2\pi.

Exercícios relacionados