Esboce a curva e encontre a área da região delimitada por ela.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares por
e calcular a área da região por ela delimitada. Vamos usar o fato de que essa curva é uma “rosa” de 4 pétalas e a fórmula de área em coordenadas polares:
Passo 2
Identificamos os zeros de
resolvendo
, ou seja,
para
. Esses valores dividem o intervalo
em quatro arcos onde
é alternadamente positivo ou negativo, correspondendo às 4 pétalas.
Passo 3
No intervalo em que
, por exemplo
,
temos uma pétala cuja ponta ocorre em com
. As outras pétalas são iguais, giradas de
em
. O esboço é uma rosa de 4 pétalas de raio 2, alinhadas aos eixos.
temos uma pétala cuja ponta ocorre em
Passo 4
Vamos calcular a área de uma pétala tomando
de
a
:
Passo 5
Usamos a identidade
:
Avaliaremos de
a
:
Logo
Passo 6
Como há 4 pétalas idênticas, a área total é
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é
.