Encontre o comprimento da curva em cada um dos ítens abaixo.
x=e^{t} \operatorname{sen}(t), y=e^{t} \cos (t), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
x(t)=e^{t}\sin(t),\quad y(t)=e^{t}\cos(t),\quad 0\le t\le1
e pede o comprimento da curva.
O conteúdo usado aqui é a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Vamos achar \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} usando a regra do produto.
Para x(t)=e^t\sin t:
\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(e^t\bigr)\sin t+e^t\frac{d}{dt}(\sin t) =e^t\sin t+e^t\cos t =e^t\bigl(\sin t+\cos t\bigr).
Para y(t)=e^t\cos t:
\frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(e^t\bigr)\cos t+e^t\frac{d}{dt}(\cos t) =e^t\cos t-e^t\sin t =e^t\bigl(\cos t-\sin t\bigr).

Passo 3

Agora formamos o radicando da integral:
\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2 =e^{2t}\bigl(\sin t+\cos t\bigr)^2 +e^{2t}\bigl(\cos t-\sin t\bigr)^2.
Expandindo cada quadrado:
(\sin t+\cos t)^2+(\cos t-\sin t)^2 =(\sin^2t+2\sin t\cos t+\cos^2t) +(\cos^2t-2\sin t\cos t+\sin^2t) =2(\sin^2t+\cos^2t)=2.
Logo
\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2 =2e^{2t},
e o integrando vira
\sqrt{2e^{2t}}=\sqrt{2}\,e^t.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
L =\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,e^t\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{1}e^t\,dt =\sqrt{2}\bigl[e^t\bigr]_{0}^{1} =\sqrt{2}\bigl(e^1-e^0\bigr) =\sqrt{2}\,(e-1).

Resposta

\displaystyle L=\sqrt{2}\,(e-1)

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