Divida f por g aplicando o método da chave, para determinar o quociente e o resto da divisão.
f=x^4+2 x^3+x^2+4 x-2, g=x^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa divisão de polinômios usando o método da chave. Aqui, temos dois polinômios:
  • Dividendo (f): f = x^4 + 2x^3 + x^2 + 4x - 2
  • Divisor (g): g = x^2 + 2
O que a gente precisa é encontrar o quociente e o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios em ordem decrescente dos graus das potências de x . Já está certinho:
  • f = x^4 + 2x^3 + x^2 + 4x - 2
  • g = x^2 + 2

Passo 3

O próximo passo no método da chave é dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. Aqui, o termo de maior grau de f é x^4 e de g é x^2 .
Então, dividimos x^4 por x^2 :
x^4x^2 = x^2
Esse resultado ( x^2 ) será o primeiro termo do quociente.

Passo 4

Agora, multiplicamos o quociente parcial ( x^2 ) pelo divisor g :
x^2 times (x^2 + 2) = x^4 + 2x^2

Passo 5

Subtraímos esse resultado do dividendo original:
& (x^4 + 2x^3 + x^2 + 4x - 2) - & (x^4 + 2x^2) = & 0x^4 + 2x^3 - x^2 + 4x - 2
Simplificando, ficamos com:
2x^3 - x^2 + 4x - 2

Passo 6

Repetimos o processo agora com o novo polinômio resultante 2x^3 - x^2 + 4x - 2 . Dividimos o termo de maior grau 2x^3 pelo termo de maior grau do divisor x^2 :
2x^3x^2 = 2x
Esse 2x é o próximo termo do quociente.

Passo 7

Multiplicamos 2x pelo divisor g :
2x times (x^2 + 2) = 2x^3 + 4x

Passo 8

Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
& (2x^3 - x^2 + 4x - 2) - & (2x^3 + 4x) = & 0x^3 - x^2 + 0x - 2
Ficamos com:
-x^2 - 2

Passo 9

Agora, verificamos se podemos continuar a divisão. O grau de -x^2 é 2, que é igual ao grau do divisor x^2 + 2 . Então, dividimos -x^2 por x^2 :
-x^2x^2 = -1
Esse -1 é o próximo termo do quociente.

Passo 10

Multiplicamos -1 pelo divisor g :
-1 times (x^2 + 2) = -x^2 - 2

Passo 11

Subtraímos esse resultado do polinômio atual:
& (-x^2 - 2) - & (-x^2 - 2) = & 0x^2 + 0
Ficamos com:
0

Resposta

Então, o quociente da divisão é:
x^2 + 2x - 1
E o resto é:
0
Ou seja, f é divisível por g sem deixar resto.

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