Desenhe o conjunto imagem das funções vetoriais a seguir.
F(t)=(sin t, sin t, raiz2 cos t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
F(t) = (sin t,;sin t,;raiz2cos t), 0<= t<= 2pi,
e pede o conjunto imagem dessa função vetorial. O conteúdo aqui é curvas parametrizadas em R^3: vamos identificar em que superfície ou plano ela está e eliminar o parâmetro para ver a forma da curva.

Passo 2

Das duas primeiras componentes temos
x(t)=sin t, y(t)=sin t
logo
x=y
Isto mostra que toda a curva está contida no plano definido por x=y.

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica
sin^2 t+cos^2 t=1, substituímos sin t=x e cos t=tfraczraiz2 (pois z(t)=raiz2cos t) para obter
x^2 + z^22 ;=;1
Isso é a equação de uma elipse no sistema de coordenadas (x,z), sujeita ainda à restrição x=y.

Passo 4

Para ver melhor a forma, escolhemos uma base ortonormal do plano x=y:
u = (1,1,0)raiz2, v = (0,0,1)
Em coordenadas (u,v) temos
F(t);=;sin t,(1,1,0);+;raiz2cos t,(0,0,1) ;=;raiz2,sin t,u;+;raiz2,cos t,v
Logo as coordenadas de F(t) nessa base são (raiz2sin t,;raiz2cos t), que descrevem uma circunferência de raio raiz2.

Passo 5

Portanto, a imagem de F é uma circunferência de raio raiz2, centrada na origem, contida no plano x=y.

Resposta

A imagem é a circunferência de raio raiz2 no plano x=y, centrada na origem de R^3.

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