Desenhe o conjunto imagem das funções vetoriais a seguir.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede o conjunto imagem dessa função vetorial. O conteúdo aqui é curvas parametrizadas em
: vamos identificar em que superfície ou plano ela está e eliminar o parâmetro para ver a forma da curva.
Passo 2
Das duas primeiras componentes temos
logo
Isto mostra que toda a curva está contida no plano definido por
.
Passo 3
Usando a identidade trigonométrica
, substituímos
e
(pois
) para obter
Isso é a equação de uma elipse no sistema de coordenadas
, sujeita ainda à restrição
.
Passo 4
Para ver melhor a forma, escolhemos uma base ortonormal do plano
:
Em coordenadas
temos
Logo as coordenadas de
nessa base são
, que descrevem uma circunferência de raio
.
Passo 5
Portanto, a imagem de
é uma circunferência de raio
, centrada na origem, contida no plano
.
Resposta
A imagem é a circunferência de raio
no plano
, centrada na origem de
.