Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso I: Alguma Potência Impar
integral sin (2 x)(sin (x)+cos (x)) dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin(2x)(sin(x) + cos(x)) , dx. Esse exercício envolve produtos de funções seno e cosseno, especificamente lidando com potências ímpares de seno. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a troca de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir sin(2x) dentro do parêntese para simplificar a expressão:
sin(2x)(sin(x) + cos(x)) = sin(2x)sin(x) + sin(2x)cos(x)

Passo 3

Agora, vamos relembrar uma identidade trigonométrica útil para multiplicar senos e cossenos:
sin(A)sin(B) = 12[cos(A - B) - cos(A + B)]
sin(A)cos(B) = 12[sin(A + B) + sin(A - B)]

Passo 4

Aplicando essas identidades às duas partes da nossa expressão:
Para sin(2x)sin(x):
sin(2x)sin(x) = 12[cos(2x - x) - cos(2x + x)] = 12[cos(x) - cos(3x)]
Para sin(2x)cos(x):
sin(2x)cos(x) = 12[sin(2x + x) + sin(2x - x)] = 12[sin(3x) + sin(x)]

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral sin(2x)(sin(x) + cos(x)) , dx = integral ( 12[cos(x) - cos(3x)] + 12[sin(3x) + sin(x)] ) dx
Simplificando:
= 12 integral cos(x) , dx - 12 integral cos(3x) , dx + 12 integral sin(3x) , dx + 12 integral sin(x) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral cos(x) , dx = 12 sin(x) + C1
- 12 integral cos(3x) , dx = -12 cdot 13 sin(3x) + C2 = -16 sin(3x) + C2
12 integral sin(3x) , dx = 12 cdot (-13cos(3x)) + C3 = -16 cos(3x) + C3
12 integral sin(x) , dx = -12 cos(x) + C4

Passo 7

Juntando todas as integrais e os constantes (que podemos combinar em um único constante C):
12 sin(x) - 16 sin(3x) - 16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

Resposta

A integral integral sin(2x)(sin(x) + cos(x)) , dx é igual a:
12 sin(x) - 16 sin(3x) - 16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

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