Justifique as seguintes igualdades:
sumn=1^+infty 1n(n+1)=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumn=1^+infty 1n(n+1)
converge e que seu valor é 1. O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular séries telescópicas. Vamos usar frações parciais para reescrever o termo geral e em seguida analisar a soma parcial e seu limite.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais, temos para cada n>=1:
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando por n(n+1) obtém-se
1 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A,
logo A+B=0 e A=1. Assim
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N 1n(n+1) = sumn=1^N l(1n - 1n+1r)
Essa soma é telescópica, pois ao expandir aparece:
SN = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + cdots + l(tfrac1N - tfrac1N+1r),
e quase todos os termos intermediários cancelam, restando
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Para obter o valor da série, tomamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = limNtoinftyl(1 - 1N+1r) = 1 - 0 = 1

Resposta

sumn=1^+infty 1n(n+1) = 1

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