Justifique as seguintes igualdades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série infinita
converge e que seu valor é
. O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular séries telescópicas. Vamos usar frações parciais para reescrever o termo geral e em seguida analisar a soma parcial e seu limite.
Passo 2
Decompondo o termo geral em frações parciais, temos para cada
:
Multiplicando por
obtém-se
logo
e
. Assim
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Essa soma é telescópica, pois ao expandir aparece:
e quase todos os termos intermediários cancelam, restando
Passo 4
Para obter o valor da série, tomamos o limite de
quando
: