Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso I: Alguma Potência Impar
integral cos ^3(x) sin ^5(x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^3(x),sin^5(x),dx. O conteúdo é integração de produtos de seno e cosseno quando uma das potências é ímpar, e vamos precisar usar a identidade sin^2(x)+cos^2(x)=1 junto com substituição.

Passo 2

Como a potência de sin(x) é ímpar (é 5), separamos um fator sin(x),dx para usar na substituição e escrevemos o restante como potência par:
cos^3(x),sin^5(x),dx = cos^3(x),l(sin^4(x)r),sin(x),dx

Passo 3

Em seguida, usamos a identidade de Pitágoras para tratar sin^4(x):
sin^4(x) = l(sin^2(x)r)^2 = l(1-cos^2(x)r)^2

Passo 4

Agora fazemos a substituição u=cos(x), então du = -sin(x),dx. O integral vira um polinômio em u:
integral cos^3(x),sin^4(x),sin(x),dx = -integral u^3,(1-u^2)^2,du

Passo 5

Expandindo (1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 e multiplicando por u^3, temos
u^3(1 - 2u^2 + u^4) = u^3 - 2u^5 + u^7

Passo 6

Portanto o integral em u é
-integral (u^3 - 2u^5 + u^7),du = -l(u^44 - 2u^66 + u^88r) + C

Passo 7

Simplificando os coeficientes, fica
-u^44 + u^63 - u^88 + C

Passo 8

Por fim, voltamos para x substituindo u=cos(x), resultando em:
-cos^4(x)4 + cos^6(x)3 - cos^8(x)8 + C

Resposta

-\frac{\cos^4(x)}{4} + \frac{\cos^6(x)}{3} - \frac{\cos^8(x)}{8} + C

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