Verifique se os limites existem: lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 x^3 y(x^2+y^2)^2.

Passo 1

O exercício pede para verificar se o limite em duas variáveis abaixo e ver se ele existe ou não. Esse conteúdo trata de limites de funções de duas variáveis e, para resolver, vamos usar limites direcionais (reta y=mx) para checar se o valor depende da direção de aproximação.

Passo 2

Vamos tomar a reta y=mx e substituir na expressão. Temos a função

Passo 3

y^4+3x^2y^2+2x^3y(x^2+y^2)^2 = (mx)^4 + 3x^2(mx)^2 + 2x^3(mx)l(x^2+(mx)^2r)^2 = x^4(m^4+3m^2+2m)x^4(1+m^2)^2 = m^4+3m^2+2m(1+m^2)^2

Passo 4

Agora basta ver se esse valor depende de m. Para m=0 obtemos 0. Para m=1 obtemos 1+3+2(1+1)^2=64=tfrac32. Como há direções com limites diferentes, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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