Encontre o valor de cada uma das somas abaixo.
sumn=1^infty(1raizn-1raizn+1)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o valor da soma infinita:
sumn=1^infty(1raizn-1raizn+1)
Esse problema está na área de séries matemáticas, especificamente lidando com séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que se cancelam parcialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da soma para ver um padrão:
(1raiz1 - 1raiz2) + (1raiz2 - 1raiz3) + (1raiz3 - 1raiz4) + dots

Passo 3

Observamos que em cada par de termos, o de um termo vai cancelar com o do próximo termo. Isso é o que chamamos de soma telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 4

Vamos generalizar até o sumn=1^N(1raizn - 1raizn+1) = 1raiz1 - 1raizN+1 -ésimo termo:
Todos os termos intermediários se cancelam, deixando apenas o primeiro e o último.

Passo 5

Agora, para encontrar a soma até o infinito, vamos calcular o limite quando limN to infty (1raiz1 - 1raizN+1) = 1 - 0 = 1 tende ao infinito:
Porque se aproxima de 0 quando cresce sem limite.

Resposta

O valor da soma infinita é 1.

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