Desenhe a curva dada em coordenadas polares e calcule a área da região limitada por tal curva.
rho=cos (3 theta)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares rho=cos(3theta). Precisamos esboçar essa curva (um “rosa” de 3 pétalas) e calcular a área da região que ela delimita.

Passo 2

Para desenhar, note que rho>=0 quando cos(3theta)>=0, ou seja
3thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]+2pi k.
Cada intervalo de largura tfracpi3 gera uma pétala de comprimento máximo rho=1, totalizando 3 pétalas simétricas com eixos em theta=0,pmtfracpi3.

Passo 3

Para calcular a área de uma única pétala, usamos a fórmula em coordenadas polares:
Apétala = tfrac12integraltheta1^theta2 [cos(3theta)]^2,dtheta é
escolhendo, por simetria, theta1=-tfracpi6 e theta2=tfracpi6, que cobrem uma pétala.

Passo 4

Usamos a identidade cos^2u=tfrac1+cos(2u)2:
(cos(3theta))^2 = tfrac1+cos(6theta)2
Apétala = tfrac12integral-pi6^pi6tfrac1+cos(6theta)2,dtheta = tfrac14l[theta + tfracsin(6theta)6r]-pi6^pi6 = tfrac14cdottfracpi3 = tfracpi12 é

Passo 5

Como a rosa tem 3 pétalas idênticas, a área total é
Atotal = 3;times;tfracpi12 = tfracpi4

Resposta

A curva é uma rosa de 3 pétalas de comprimento máximo 1, e a área da região delimitada é pi4.

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