Seja E um espaço vetorial. Se v1, v2, cdots, vn é uma base de E, mostre que v1, v2-v1, cdots, vn-v1 também é uma base de E.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial E de dimensão n com base v1,v2,dots,vn. Queremos provar que o conjunto
,v1,,v2-v1,,v3-v1,dots,vn-v1
é também uma base de E. Para isso, vamos usar a definição de base: mostrar que esse conjunto gera E e é linearmente independente.

Passo 2

Provar que gera E. Seja um vetor arbitrário vin E. Como v1,dots,vn gera E, existem escalares c1,dots,cn tais que
v ;=;sumi=1^nci,vi
Agora reescrevemos cada vj para j>=2 como
vj = v1 + l(vj-v1r),
e então
v = c1v1 + sumj=2^ncjl(v1+(vj-v1)r) = l(c1+sumj=2^ncjr)v1 +sumj=2^ncj,(vj-v1)
Isso mostra que v é combinação linear de v1,v2-v1,dots,vn-v1. Logo esse conjunto gera E.

Passo 3

Provar que é linearmente independente. Suponha que existam escalares a,b2,dots,bn tais que
a,v1 ;+;sumj=2^nbj,(vj-v1) ;=;0
Agrupando termos em v1 e em cada vj obtemos
(a - sumj=2^nbj),v1 + sumj=2^nbj,vj ;=;0
Como v1,dots,vn é base, ela é linearmente independente, então todos os coeficientes devem ser zero:
bj=0(forall j>=2) e a - sumj=2^nbj=a=0
Portanto só há a combinação trivial, e o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Como o conjunto gera E e é linearmente independente, concluímos que
,v1,,v2-v1,,dots,,vn-v1
é uma base de E.

Exercícios relacionados