Seja
um espaço vetorial. Se
é uma base de
, mostre que
também é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
de dimensão
com base
. Queremos provar que o conjunto
é também uma base de . Para isso, vamos usar a definição de base: mostrar que esse conjunto gera
e é linearmente independente.
é também uma base de
Passo 2
Provar que gera
. Seja um vetor arbitrário
. Como
gera
, existem escalares
tais que
Agora reescrevemos cada
para
como
e então
Isso mostra que
é combinação linear de
. Logo esse conjunto gera
.
Passo 3
Provar que é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Agrupando termos em
e em cada
obtemos
Como
é base, ela é linearmente independente, então todos os coeficientes devem ser zero:
Portanto só há a combinação trivial, e o conjunto é linearmente independente.
Resposta
Como o conjunto gera
e é linearmente independente, concluímos que
é uma base de
.