Seja E o subespaço de R^3 gerado por u=(1,0,1) e F o subespaço de R^3 gerado por v=(1,1,0) e w=(0,1,1). Mostre que R^3=E oplus F.

Passo 1

O enunciado diz que
E=spanu, com u=(1,0,1), e
F=spanv,w, com v=(1,1,0) e w=(0,1,1).
Queremos mostrar que
Bbb R^3 ;=; Eoplus F,
isto é, que todo vetor de Bbb R^3 se escreve de modo único como soma de algo em E e algo em F. Para isso precisamos:
  1. Mostrar que Ecap F=0.
  2. Mostrar que E+F=Bbb R^3.

Passo 2

Primeiro encontramos as dimensões de E e F:
  • Claramente dim E=1 porque uneq0.
  • Em F, se beta v+gamma w=0 temos beta(1,1,0)+gamma(0,1,1)=(beta,beta+gamma,gamma)=(0,0,0) o que dá beta=0 e gamma=0. Logo v e w são LI e dim F=2.

Passo 3

Agora mostremos que
Comparando coordenadas:
Da segunda equação e vem , logo . Assim e o único vetor comum é o zero.

Passo 4

Como dim E=1, dim F=2 e Ecap F=0, temos
dim(E+F)=dim E+dim F=3=dimBbb R^3
Isto implica E+F=Bbb R^3 e, pelo fato de a interseção ser trivial, a soma é direta.

Resposta

Bbb R^3 = Eoplus F.

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