Seja
o subespaço de
gerado por
e
o subespaço de
gerado por
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
, com
, e
, com
e
.
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
isto é, que todo vetor de
se escreve de modo único como soma de algo em
e algo em
. Para isso precisamos:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Passo 2
Primeiro encontramos as dimensões de
e
:
- Claramente
porque . - Em
, se temos o que dá e . Logo e são LI e .
Passo 3
Agora mostremos que
Comparando coordenadas:
Da segunda equação e
vem
, logo
. Assim
e o único vetor comum é o zero.
Passo 4
Como
dim E=1 ,
dim F=2 e
Ecap F=0 , temos
Isto implica
E+F=Bbb R^3 e, pelo fato de a interseção ser trivial, a soma é direta.