Esboce a região e o solido obtido pela sua rotação em torno do eixo y dos seguinte conjuntos. Em seguida, calcule o seu volume.
y^2 <= 2 x-x^2, y <= 0

Passo 1

Temos a região dada por y^2 <= 2x - x^2 e y <= 0. Note que y^2 <= 2x - x^2 é equivalente a (x-1)^2 + y^2 <= 1, ou seja, o disco de raio 1 centrado em (1,0). A restrição y<=0 nos dá apenas a metade inferior desse disco. Vamos usar o método dos cilindros (casca cilíndrica) para calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo y.

Passo 2

Esboçando no plano (x,y), a curva limite é o semicírculo inferior de centro (1,0) e raio 1, indo de x=0 até x=2 para y=0 e atingindo y=-1 em x=1. Ao girar em torno do eixo y, cada fatia vertical em x gera uma casca cilíndrica de raio x e altura igual a 0 - l(-raiz2x - x^2r)=raiz2x - x^2.

Passo 3

Pela fórmula do método das cascas cilíndricas, o volume é
V = integralx=0^2 2picdot(raio)cdot(a<ura),dx = 2pi integral0^2 xraiz2x - x^2,dx
Para calcular I=integral0^2 xraiz2x - x^2,dx, fazemos a troca de variável s = x - 1, o que leva a
x = s+1, 2x - x^2 = 1 - s^2, dx = ds,
e os limites vão de s=-1 a s=1. Assim
I=integral-1^1(s+1)raiz1-s^2,ds = integral-1^1sraiz1-s^2,ds + integral-1^1raiz1-s^2,ds

Passo 4

O primeiro integral é ímpar e se anula; o segundo é a área de meio círculo de raio 1, ou seja, pi/2. Logo
I = pi2,
e portanto
V = 2pi cdot I = 2pi cdot pi2

Resposta

pi^2

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