Esboce a região e o solido obtido pela sua rotação em torno do eixo y dos seguinte conjuntos. Em seguida, calcule o seu volume.
Passo 1
Temos a região dada por
e
. Note que
é equivalente a
, ou seja, o disco de raio 1 centrado em
. A restrição
nos dá apenas a metade inferior desse disco. Vamos usar o método dos cilindros (casca cilíndrica) para calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo
.
Passo 2
Esboçando no plano
, a curva limite é o semicírculo inferior de centro
e raio 1, indo de
até
para
e atingindo
em
. Ao girar em torno do eixo
, cada fatia vertical em
gera uma casca cilíndrica de raio
e altura igual a
.
Passo 3
Pela fórmula do método das cascas cilíndricas, o volume é
Para calcular
, fazemos a troca de variável
, o que leva a
e os limites vão de
a
. Assim
Passo 4
O primeiro integral é ímpar e se anula; o segundo é a área de meio círculo de raio 1, ou seja,
. Logo
e portanto