Seja o campo vetorial F=(y, z, x) e
S1=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 3, z=1, S2=(x, y, z) mid x^2+y^2=3,0 <= z <= 1, C=(x, y, z) mid x^2+y^2=3, z=0
S1 e S2 são superfícies e C é uma curva fechada orientada no sentido anti-horário quando visto de z positivo (de cima).
(a) Calcule ointC F cdot d s. Desenhe a curva.
(b) Escreva, sem calcular, a integral do item (a) em termos da integral sobre a superfície S=S1 cup S2 usando o teorema de Stokes. Esboce S. (O cálculo fica para o Exe.4.)
(c) Responda sem calcular: quanto vale integral duplaS^prime nabla times F cdot d S, sendo S^prime o hemisfério inferior da superfície esférica de raio raiz3 com normal de componente z positiva. Justifique.

Passo 1

Neste exercício temos o campo vetorial vec F(x,y,z)=(y,z,x) e três objetos: a curva fechada C dada por x^2+y^2=3, z=0 orientada anti-horário vista de cima, a superfície plana S1 (o disco em z=1) e a superfície cilíndrica S2 lateral unindo C a esse disco. Precisamos calcular em (a) a integral de linha ointCvec Fcdot dvec s, em (b) reescrevê-la como integral de superfície usando Stokes, e em (c) determinar a integral de fluxo de nablatimesvec F sobre o hemisfério inferior de raio raiz3 com normal de componente z positiva.

Passo 2

Para (a), parametrize a curva C no plano z=0 por
vec r(t)=(raiz3cos t,,raiz3sin t,,0), tin[0,2pi]
Então
vec r,'(t)=(-raiz3sin t,,raiz3cos t,,0),
vec Fl(vec r(t)r)=(raiz3sin t,,0,,raiz3cos t)
O produto escalar é
vec Fcdotvec r,'=-,3sin^2t
e a integral de 0 a 2pi
ointCvec Fcdot dvec s=integral0^2pi-3sin^2t,dt=-3,pi

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes, para a superfície fechada por S=S1cup S2 vale
ointCvec Fcdot dvec s=integral duplaSl(nablatimesvec Fr)cdot dvec S

Passo 4

Para (c), note que o hemisfério inferior S' tem a mesma curva de contorno C e está orientado com normal de componente z positiva, o que impõe a mesma orientação antid-horário em C. Logo, por Stokes,
integral duplaS'(nablatimesvec F)cdot dvec S=ointCvec Fcdot dvec s=-3pi

Resposta

(a) -3pi
(b) ointCvec Fcdot dvec s=integral duplaSl(nablatimesvec Fr)cdot dvec S, com S=S1cup S2
(c) -3pi

Exercícios relacionados