Determine o que se pede sobre as funções dadas abaixo.
Determine e esboce o domínio e imagem de f(x, y, z)=e^x^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado pede para a função f: R^3to R dada por f(x,y,z)=e^x^2+y^2+z^2 que a gente determine o domínio (conjunto de todos os pontos em que a função está definida) e a imagem (conjunto de valores que a função assume), além de esboçar cada um.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a exponencial e^t está definida para todo tin R. Como x^2+y^2+z^2 é sempre um número real sem restrição, podemos usar quaisquer (x,y,z)in R^3. Logo o domínio é R^3.
Para encontrar a imagem, note que x^2+y^2+z^2>=0 para todo (x,y,z). Então o expoente percorre [0,infty). Como e^t é estritamente crescente e e^0=1, os valores de f vão de 1 (quando x=y=z=0) até +infty (quando raizx^2+y^2+z^2toinfty). Portanto a imagem é [1,infty).

Passo 3

Para esboçar o domínio, basta representar o espaço tridimensional sem nenhuma restrição: uma nuvem que preenche todo R^3. Para esboçar a imagem, desenhe o eixo real e destaque o segmento que começa em 1 (inclusivo) e segue para a direita até o infinito.

Passo 4

Em resumo, a função está definida em todo o espaço R^3 e seus valores variam de 1 até +infty, crescendo à medida que a distância ao ponto (0,0,0) aumenta.

Resposta

Domínio: R^3. Imagem: [1,infty).

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