Verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y para:
f(x, y)=1y cos x^2, y neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para a função
f(x,y)=1ycos(x^2), yneq0,
valem
partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e aplicação do Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas) avaliando-as diretamente.

Passo 2

Calculemos primeiro partial fpartial x. Tratar y como constante e usar a regra da cadeia em cos(x^2):
partial fpartial x =1y,ddxl[cos(x^2)r] =1yl[-sin(x^2)cdot2xr] =-2xsin(x^2)y
Agora derivamos isso em relação a y, tratando x como constante:
partial^2 fpartial ypartial x =partialpartial y!l(-2xsin(x^2)yr) =-2xsin(x^2),ddyl(y^-1r) =-2xsin(x^2)l(-y^-2r) =2xsin(x^2)y^2

Passo 3

Agora calculemos partial fpartial y. Tratar cos(x^2) como constante e usar a regra do quociente (ou potência negativa):
partial fpartial y =cos(x^2),ddyl(y^-1r) =cos(x^2),(-y^-2) =-cos(x^2)y^2
Em seguida derivamos isso em relação a x:
partial^2 fpartial xpartial y =partialpartial x!l(-cos(x^2)y^2r) =-1y^2,ddxl[cos(x^2)r] =-1y^2l[-sin(x^2)cdot2xr] =2xsin(x^2)y^2

Passo 4

Comparando os dois resultados:
partial^2 fpartial ypartial x =2xsin(x^2)y^2 e partial^2 fpartial xpartial y =2xsin(x^2)y^2,
vemos que são iguais, conforme exigido pelo Teorema de Clairaut.

Resposta

partial^2 fpartial ypartial x =partial^2 fpartial xpartial y =2xsin(x^2)y^2

Exercícios relacionados