Verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y para:
f(x, y)=x^4+y^4-4 x^2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para
f(x,y)=x^4+y^4-4x^2y^2,
valem
partial^2fpartial ypartial x ;=; partial^2fpartial xpartial y
O que vamos fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois as mistas em cada ordem.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de primeira ordem de f em relação a x.
partial fpartial x(x,y) = partialpartial xl(x^4+y^4-4x^2y^2r) =4x^3-8xy^2

Passo 3

Agora calculamos a derivada mista partial^2f/partial ypartial x, derivando partial f/partial x em relação a y.
partial^2fpartial ypartial x(x,y) =partialpartial yl(4x^3-8xy^2r) =-16xy

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de primeira ordem de f em relação a y.
partial fpartial y(x,y) = partialpartial yl(x^4+y^4-4x^2y^2r) =4y^3-8x^2y

Passo 5

Em seguida, derivamos partial f/partial y em relação a x para obter partial^2f/partial xpartial y.
partial^2fpartial xpartial y(x,y) =partialpartial xl(4y^3-8x^2yr) =-16xy

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que
partial^2fpartial ypartial x(x,y) =-16xy e partial^2fpartial xpartial y(x,y) =-16xy
Portanto, as derivadas mistas são iguais.

Resposta

As duas derivadas mistas valem -16xy e, logo,
partial^2fpartial ypartial x =partial^2fpartial xpartial y

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