Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty a^n n!n^n,(a>1)

Passo 1

O enunciado quer saber se a série sumn=1^infty a^n n!n^n, com a>1, é convergente ou divergente. O conteúdo é a convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão de D’Alembert, que pede limntoinfty un+1un.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos un = a^n n!n^n e calculamos a razão un+1/un:
un+1un = a^n+1(n+1)!/(n+1)^n+1a^n n!/n^n = a cdot (n+1)n^n(n+1)^n+1 = a (nn+1)^n
Agora avaliamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
limntoinftyun+1un = a limntoinfty(nn+1)^n = a e^-1 = ae

Passo 3

Pelo teste da razão: se ae<1 (isto é, a) a série converge; se ae>1 (isto é, a>e) a série diverge; se ae=1 (isto é, a=e) o teste é inconclusivo.

Passo 4

Para o caso a=e, analisamos o termo geral un=e^n n!n^n. Usando a fórmula de Stirling
n! sim n^n e^-nraiz2pi n, temos
un sim e^n cdot n^n e^-nraiz2pi nn^n = raiz2pi n, que não tende a zero, então a série diverge quando a=e.

Resposta

A série converge para 1 < a < e e diverge para a ≥ e.

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