Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado quer saber se a série
, com
, é convergente ou divergente. O conteúdo é a convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão de D’Alembert, que pede
.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, definimos
e calculamos a razão
:
Agora avaliamos o limite dessa razão quando
Passo 3
Pelo teste da razão: se
(isto é,
) a série converge; se
(isto é,
) a série diverge; se
(isto é,
) o teste é inconclusivo.
Passo 4
Para o caso
, analisamos o termo geral
. Usando a fórmula de Stirling
Resposta
A série converge para 1 < a < e e diverge para a ≥ e.