Desenhe as curvas de nível da função f f(x, y) = ln(x) / y

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de desenhar as curvas de nível da função . Isso envolve entender o que são curvas de nível, que parte da matemática estamos usando (cálculo multivariável) e como podemos representar graficamente essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Imaginem que você tem uma função de duas variáveis, como . As curvas de nível são as linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar as curvas onde , onde é uma constante qualquer. Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para em termos de e :
Isso significa que, para cada valor de , a curva de nível é dada por .

Passo 5

Vamos analisar o formato dessas curvas. A equação mostra que é proporcional a , com a constante de proporcionalidade sendo . Dependendo do valor de , a curva vai se comportar de maneiras diferentes:
  • Se , a curva está acima do eixo .
  • Se , a curva está abaixo do eixo .
  • Para valores extremos de , a curva se aproxima dos eixos de forma mais acentuada.

Passo 6

Para desenhar as curvas de nível, você pode escolher diferentes valores de e plotar as correspondentes funções . Lembre-se de que deve ser maior que 0, já que o logaritmo natural não está definido para .

Resposta

As curvas de nível da função são dadas pelas equações , onde é uma constante. Essas curvas representam famílias de funções logarítmicas escaladas verticalmente por .

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