Desenhe as curvas de nível da função
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de desenhar as curvas de nível da função
. Isso envolve entender o que são curvas de nível, que parte da matemática estamos usando (cálculo multivariável) e como podemos representar graficamente essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Imaginem que você tem uma função de duas variáveis, como
. As curvas de nível são as linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as curvas onde
, onde
é uma constante qualquer. Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
em termos de
e
:
Isso significa que, para cada valor de
, a curva de nível é dada por
.
Passo 5
Vamos analisar o formato dessas curvas. A equação
mostra que
é proporcional a
, com a constante de proporcionalidade sendo
. Dependendo do valor de
, a curva vai se comportar de maneiras diferentes:
- Se
, a curva está acima do eixo . - Se
, a curva está abaixo do eixo . - Para valores extremos de
, a curva se aproxima dos eixos de forma mais acentuada.
Passo 6
Para desenhar as curvas de nível, você pode escolher diferentes valores de
e plotar as correspondentes funções
. Lembre-se de que
deve ser maior que 0, já que o logaritmo natural não está definido para
.
Resposta
As curvas de nível da função
são dadas pelas equações
, onde
é uma constante. Essas curvas representam famílias de funções logarítmicas escaladas verticalmente por
.