Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência que envolvem termos alternados e séries com potências.
Passo 2
Primeiro, observe que a série possui termos alternados devido ao fator
. Isso significa que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo conforme o n aumenta. Quando temos séries alternadas, podemos considerar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz) para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série do tipo
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito. - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso, temos
. Vamos verificar essas condições.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Esse limite é infinito, ou seja, não é igual a zero.
Passo 5
Como o limite dos termos
não tende a zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série diverge. Além disso, para verificar a convergência absoluta, precisaríamos que a série
convergisse.
Passo 6
Vamos analisar a série de valores absolutos:
Essa série é uma série geométrica modificada com razão maior que 1 (
), o que implica que ela também diverge.
Resposta
A série
diverge.