Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo sumn=1^infty (-3)^n-1raizn

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma sumn=1^infty (-3)^n-1raizn. Nosso objetivo é determinar se essa série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência que envolvem termos alternados e séries com potências.

Passo 2

Primeiro, observe que a série possui termos alternados devido ao fator (-3)^n-1. Isso significa que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo conforme o n aumenta. Quando temos séries alternadas, podemos considerar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz) para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série do tipo sumn=1^infty (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n tende ao infinito.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero: limn to infty an = 0.
No nosso caso, temos an = 3^n-1raizn. Vamos verificar essas condições.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty 3^n-1raizn = limn to infty 3^n3 raizn = infty
Esse limite é infinito, ou seja, não é igual a zero.

Passo 5

Como o limite dos termos an não tende a zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série diverge. Além disso, para verificar a convergência absoluta, precisaríamos que a série sumn=1^infty 3^n-1raizn convergisse.

Passo 6

Vamos analisar a série de valores absolutos:
sumn=1^infty 3^n-1raizn = 13 sumn=1^infty 3^nraizn
Essa série é uma série geométrica modificada com razão maior que 1 ( 3 > 1), o que implica que ela também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-3)^n-1raizn diverge.

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