Desenhe as curvas de nível da função: (níveis -2,-1,0,1,2 )
f(x, y)=\frac{x^{2}-y}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível correspondentes aos níveis -2,-1,0,1,2 da função
f(x,y)=\frac{x^{2}-y}{y^{2}}.
Informações dadas e o que é preciso produzir:
  • A função é \;f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y}{y^{2}}\;.
  • Os níveis pedidos são k\in\{-2,-1,0,1,2\}.
  • Para cada k devemos obter a equação da curva de nível f(x,y)=k e esboçar (descrever) sua forma no plano (x,y).
  • Lembrar que a função está indefinida quando y=0; portanto y\neq 0 em todas as curvas de nível.

Passo 2

Escrever a equação geral da curva de nível para um nível fixo k. Partimos de
\frac{x^{2}-y}{y^{2}} = k.
Multiplicando por y^{2} (lembrando que y\neq0) obtemos a forma mais tratável:
x^{2}-y = k\,y^{2}.
Reescrevendo em função de x^{2}:
\boxed{\,x^{2} = k\,y^{2} + y\,.\,}
Esta é a equação que vamos usar para cada k. Ela mostra que as curvas são simétricas em relação ao eixo y (pois x aparece ao quadrado) e que a existência da curva depende do sinal de k\,y^{2}+y (temos que ter k\,y^{2}+y\ge0 para ter x real).

Passo 3

Resolver em relação a y (isso ajuda a entender quantas ramificações há para cada x). Para k\neq 0 interpretamos como uma quadrática em y:
k\,y^{2}+y-x^{2}=0.
A fórmula de Bhaskara dá
\boxed{\,y=\frac{-1\pm\sqrt{1+4k x^{2}}}{2k}\qquad (k\neq0)\,}
Para k=0 a equação reduz a x^{2}=y, ou seja
\boxed{\,y=x^{2}\qquad (k=0)\,}
Obs.: em todas as expressões acima toda ocorrência de y=0 é proibida (a função original não é definida em y=0), então pontos que matematicamente surgem com y=0 devem ser excluídos.

Passo 4

Estudo da condição de existência real (discriminante) e fatoração conveniente. A condição para x real é
k\,y^{2}+y\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y(k y+1)\ge0.
Analisando o sinal de y(k y+1):
  • Raízes em y=0 e y=-\dfrac{1}{k} (quando k\neq0).
  • Para k>0: a desigualdade vale quando y\ge0 ou y\le -\dfrac{1}{k}. Logo há duas faixas de y: uma próxima de 0^+ e outra para y suficientemente negativo.
  • Para k<0: a desigualdade vale quando 0\le y\le -\dfrac{1}{k}. Ou seja, y fica preso a um intervalo fechado entre 0 e -1/k (lembrando que y=0 é excluído).
  • Alternativamente, olhando pela expressão de y em função de x, o discriminante deve satisfazer 1+4k x^{2}\ge0. Para k\ge0 isto é sempre verdade; para k<0 impõe um limite em |x|:
1+4k x^{2}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le -\frac{1}{4k}\quad (k<0).

Passo 5

Interseção com o eixo y (ou seja x=0). Colocando x=0 em x^{2}=k y^{2}+y obtém-se
0=k y^{2}+y = y(ky+1),
logo y=0 (não permitido) ou y=-\dfrac{1}{k} (quando k\neq0). Assim:
  • Para k\neq 0 a curva cruza o eixo y no ponto \displaystyle\left(0,-\frac{1}{k}\right).
  • Para k=0 a “interseção” com o eixo y seria y=0 (mas é excluída), então a parábola y=x^{2} se aproxima da origem mas não inclui o ponto (0,0).

Passo 6

Assintóticas e comportamento para grandes valores de y. Para |y| grande, o termo k y^{2} domina e temos
x^{2}\approx k y^{2}\quad\Rightarrow\quad |x|\approx\sqrt{k}\,|y|.
Isso implica assíntotas lineares do tipo
y\approx \pm\frac{1}{\sqrt{k}}\,x\qquad (k>0,\;|y|\to\infty).
Portanto para k>0 as curvas, para valores extremos de |y|, aproximam-se das retas y=\pm x/\sqrt{k}. Para k<0 não há comportamento de “ |y|\to\infty” na faixa admissível de y (pois y está limitado entre 0 e -1/k), logo as curvas de k<0 são compactas (horizontalmente e verticalmente) e formam “lacinhos” com extensão limitada em x.

Passo 7

Agora tratamos caso a caso — escrevo a equação explícita e descrevo como esquematizar o desenho.
k = -2:
x^{2} = -2y^{2}+y.
Condição de existência: -2y^{2}+y\ge0 \Rightarrow y(1-2y)\ge0 \Rightarrow y\in[0,\tfrac12], mas y=0 excluído, então y\in(0,\tfrac12].
  • A curva é simétrica em x, tem duas ramificações x=\pm\sqrt{y-2y^{2}}.
  • Interseção com eixo y: \left(0,\tfrac12\right).
  • Extensão em x: máxima em algum y do intervalo; também o discriminante deu |x|\le \dfrac{1}{2\sqrt{2}} (pois 1+4(-2)x^{2}\ge0\Rightarrow x^{2}\le 1/8).
  • Forma: um arco fechado (dois ramos simétricos que se fecham em y=\tfrac12 com x=0), fica entre y próximo de 0^+ (onde x\approx0) e y=\tfrac12.
k = -1:
x^{2} = -y^{2}+y.
Condição: -y^{2}+y\ge0 \Rightarrow y(1-y)\ge0 \Rightarrow y\in[0,1], excluindo 0, portanto y\in(0,1].
  • Interseção com eixo y: (0,1).
  • Extensão em x: limite dado por 1+4(-1)x^{2}\ge0\Rightarrow |x|\le\tfrac12.
  • Forma: arco simétrico parecido com o caso k=-2, porém mais largo (maior amplitude em x) e vai de y próximo de 0^+ até y=1 com x=0.
k = 0:
x^{2}=y \quad\Longrightarrow\quad y=x^{2}.
  • É a parábola usual com concavidade para cima.
  • Observação importante: o ponto (0,0) não pertence à curva de nível porque y=0 não está no domínio da função original; portanto a parábola é a mesma y=x^{2} mas com o ponto (0,0) removido. Em prática, ao desenhar deixe um pequeno círculo aberto no ponto origem.
k = 1:
x^{2}=y^{2}+y.
Condição: y(y+1)\ge0\Rightarrow y\ge0 ou y\le-1. Então existem duas faixas de y: y>0 (próximo de 0^+ até \infty) e y\le -1 (até -\infty).
  • Em termos de y(x):
y=\frac{-1\pm\sqrt{1+4x^{2}}}{2}.
  • Interseção com eixo y: \left(0,-1\right) (o outro candidato seria y=0 em x=0 mas y=0 é proibido).
  • Para |y|\to\infty temos assíntotas y\approx\pm x (porque \sqrt{k}=1), ou seja as curvas aproximam as retas y=\pm x.
  • Forma: duas famílias de ramos: uma ramificação para y>0 (que se aproxima da origem por y\to0^+ sem incluir o ponto) e outra para y\le-1 que passa pelo ponto (0,-1) e tende às retas assintóticas.
k = 2:
x^{2}=2y^{2}+y.
Condição: y(2y+1)\ge0\Rightarrow y\ge0 ou y\le -\tfrac12.
  • Interseção com eixo y: \left(0,-\tfrac12\right).
  • Fórmula inversa:
y=\frac{-1\pm\sqrt{1+8x^{2}}}{4}.
  • Assíntotas para grandes |y|: y\approx\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}x.
  • Forma: semelhante a k=1, duas faixas (uma parte para y>0 próxima da origem e outra para y\le -\tfrac12), com aproximação às retas y=\pm x/\sqrt{2} para grandes |y|.

Passo 8

Como esboçar graficamente (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe o eixo x e y, marque que y=0 é proibido (pode riscar levemente o eixo).
  2. Para cada k escreva x^{2}=k y^{2}+y.
  3. Trace a interseção com o eixo y: para k\neq0 marque \left(0,-\dfrac{1}{k}\right). Para k=0 lembre que (0,0) é excluído.
  4. Use a simetria em relação ao eixo y: desenhe a metade direita e espelhe.
  5. Para k<0 (aqui -2 e -1): as curvas ficam em faixas y\in(0,-1/k] e são “arcos” fechados verticalmente e limitados horizontalmente (valores máximos de |x| calculáveis por x^{2}=y- |k| y^{2}). Marque os extremos em y e desenhe arcos que se fecham em x=0 no valor superior de y.
  6. Para k=0: desenhe y=x^{2} sem o ponto (0,0).
  7. Para k>0 (aqui 1 e 2): uma família de ramos para y>0 que se aproxima da origem (mas não inclui y=0), e outra família para y negativo e suficientemente grande em módulo (respectivamente y\le-1 ou y\le-1/2) que se estende até infinito aproximando as retas assintóticas y=\pm x/\sqrt{k}.
  8. Se precisar de pontos concretos para guiar o traço, calcule para alguns x ou y simples usando as fórmulas do passo 7 (por exemplo para k=-1, em x=\tfrac12 temos 1+4(-1)(1/4)=0 ponto extremo; para k=1, em x=0 temos y=-1, etc.).

Passo 9

Resumo visual rápido (o que você deve ver no desenho):
  • Curvas k=-2 e k=-1: “laços” simétricos acima do eixo x, limitados entre y próximo de 0^+ e y=\tfrac12 (para -2) ou y=1 (para -1); horizontais limitadas ( |x| pequeno).
  • Curva k=0: parábola y=x^{2} (origem excluída).
  • Curvas k=1 e k=2: dois conjuntos de ramos: uma parte para y>0 que se aproxima da origem, outra parte para y negativo (a partir de -1 ou -\tfrac12) que vai para -\infty aproximando retas assintóticas y=\pm x (para k=1) ou y=\pm x/\sqrt{2} (para k=2).

Resposta

k=-2: x^{2}=-2y^{2}+y,\quad y\in(0,\tfrac12] (dois ramos simétricos em x, arco limitado com |x|\le\tfrac{1}{2\sqrt{2}}).
k=-1: x^{2}=-y^{2}+y,\quad y\in(0,1] (dois ramos simétricos em x, arco limitado com |x|\le\tfrac{1}{2}).
k=0: y=x^{2} (parábola com concavidade para cima, ponto (0,0) excluído).
k=1: x^{2}=y^{2}+y,\quad y\in(0,\infty)\cup(-\infty,-1] (dois conjuntos de ramos; interseção em (0,-1); assíntotas para |y|\to\infty são y=\pm x).
k=2: x^{2}=2y^{2}+y,\quad y\in(0,\infty)\cup(-\infty,-\tfrac12] (dois conjuntos de ramos; interseção em (0,-\tfrac12); assíntotas y=\pm\dfrac{x}{\sqrt{2}}).

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