Desenhe as curvas de nível da função: (níveis
)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível correspondentes aos níveis
da função
Informações dadas e o que é preciso produzir:
- A função é
. - Os níveis pedidos são
. - Para cada
devemos obter a equação da curva de nível e esboçar (descrever) sua forma no plano . - Lembrar que a função está indefinida quando
; portanto em todas as curvas de nível.
Passo 2
Escrever a equação geral da curva de nível para um nível fixo
. Partimos de
Multiplicando por
(lembrando que
) obtemos a forma mais tratável:
Reescrevendo em função de
:
Esta é a equação que vamos usar para cada
. Ela mostra que as curvas são simétricas em relação ao eixo
(pois
aparece ao quadrado) e que a existência da curva depende do sinal de
(temos que ter
para ter
real).
Passo 3
Resolver em relação a
(isso ajuda a entender quantas ramificações há para cada
). Para
interpretamos como uma quadrática em
:
A fórmula de Bhaskara dá
Para
a equação reduz a
, ou seja
Obs.: em todas as expressões acima toda ocorrência de
é proibida (a função original não é definida em
), então pontos que matematicamente surgem com
devem ser excluídos.
Passo 4
Estudo da condição de existência real (discriminante) e fatoração conveniente. A condição para
real é
Analisando o sinal de
:
- Raízes em
e (quando ). - Para
: a desigualdade vale quando ou . Logo há duas faixas de : uma próxima de e outra para suficientemente negativo. - Para
: a desigualdade vale quando . Ou seja, fica preso a um intervalo fechado entre e (lembrando que é excluído). - Alternativamente, olhando pela expressão de
em função de , o discriminante deve satisfazer . Para isto é sempre verdade; para impõe um limite em :
Passo 5
Interseção com o eixo
(ou seja
). Colocando
em
obtém-se
logo
(não permitido) ou
(quando
). Assim:
- Para
a curva cruza o eixo no ponto . - Para
a “interseção” com o eixo seria (mas é excluída), então a parábola se aproxima da origem mas não inclui o ponto .
Passo 6
Assintóticas e comportamento para grandes valores de
. Para
grande, o termo
domina e temos
Isso implica assíntotas lineares do tipo
Portanto para
as curvas, para valores extremos de
, aproximam-se das retas
. Para
não há comportamento de “
” na faixa admissível de
(pois
está limitado entre
e
), logo as curvas de
são compactas (horizontalmente e verticalmente) e formam “lacinhos” com extensão limitada em
.
Passo 7
Agora tratamos caso a caso — escrevo a equação explícita e descrevo como esquematizar o desenho.
k =
:
Condição de existência:
, mas
excluído, então
.
- A curva é simétrica em
, tem duas ramificações . - Interseção com eixo
: . - Extensão em
: máxima em algum do intervalo; também o discriminante deu (pois ). - Forma: um arco fechado (dois ramos simétricos que se fecham em
com ), fica entre próximo de (onde ) e .
k =
:
Condição:
, excluindo
, portanto
.
- Interseção com eixo
: . - Extensão em
: limite dado por . - Forma: arco simétrico parecido com o caso
, porém mais largo (maior amplitude em ) e vai de próximo de até com .
k =
:
- É a parábola usual com concavidade para cima.
- Observação importante: o ponto
não pertence à curva de nível porque não está no domínio da função original; portanto a parábola é a mesma mas com o ponto removido. Em prática, ao desenhar deixe um pequeno círculo aberto no ponto origem.
k =
:
Condição:
ou
. Então existem duas faixas de
:
(próximo de
até
) e
(até
).
- Em termos de
:
- Interseção com eixo
: (o outro candidato seria em mas é proibido). - Para
temos assíntotas (porque ), ou seja as curvas aproximam as retas . - Forma: duas famílias de ramos: uma ramificação para
(que se aproxima da origem por sem incluir o ponto) e outra para que passa pelo ponto e tende às retas assintóticas.
k =
:
Condição:
ou
.
- Interseção com eixo
: . - Fórmula inversa:
- Assíntotas para grandes
: . - Forma: semelhante a
, duas faixas (uma parte para próxima da origem e outra para ), com aproximação às retas para grandes .
Passo 8
Como esboçar graficamente (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe o eixo
e , marque que é proibido (pode riscar levemente o eixo). - Para cada
escreva . - Trace a interseção com o eixo
: para marque . Para lembre que é excluído. - Use a simetria em relação ao eixo
: desenhe a metade direita e espelhe. - Para
(aqui e ): as curvas ficam em faixas e são “arcos” fechados verticalmente e limitados horizontalmente (valores máximos de calculáveis por ). Marque os extremos em e desenhe arcos que se fecham em no valor superior de . - Para
: desenhe sem o ponto . - Para
(aqui e ): uma família de ramos para que se aproxima da origem (mas não inclui ), e outra família para negativo e suficientemente grande em módulo (respectivamente ou ) que se estende até infinito aproximando as retas assintóticas . - Se precisar de pontos concretos para guiar o traço, calcule para alguns
ou simples usando as fórmulas do passo 7 (por exemplo para , em temos ponto extremo; para , em temos , etc.).
Passo 9
Resumo visual rápido (o que você deve ver no desenho):
- Curvas
e : “laços” simétricos acima do eixo , limitados entre próximo de e (para ) ou (para ); horizontais limitadas ( pequeno). - Curva
: parábola (origem excluída). - Curvas
e : dois conjuntos de ramos: uma parte para que se aproxima da origem, outra parte para negativo (a partir de ou ) que vai para aproximando retas assintóticas (para ) ou (para ).
Resposta
k=-2:
(dois ramos simétricos em
, arco limitado com
).
k=-1: (dois ramos simétricos em
, arco limitado com
).
k=0: (parábola com concavidade para cima, ponto
excluído).
k=1: (dois conjuntos de ramos; interseção em
; assíntotas para
são
).
k=2: (dois conjuntos de ramos; interseção em
; assíntotas
).
k=-1:
k=0:
k=1:
k=2: