Determine a quádrica e sua orientação e faça um esboço:
Passo 1
O enunciado dá a superfície no espaço tridimensional pela equação
As perguntas que preciso responder são:
- Qual é a quádrica representada por essa equação (classificação: cone, elipsoide, hiperbolóide, etc.)?
- Qual a sua orientação (vértice, eixo, direção de abertura, ângulo de abertura)?
- Fazer um esboço (descrever como desenhar/visualizar).
Informações relevantes dadas explicitamente: a equação algébrica acima define uma superfície em
com variáveis
.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão do lado direito e reorganizar a equação para deixar evidente a forma quadrática. Multiplico e somo os termos:
Substituindo na equação original:
Coloco tudo num só lado:
Agora vou completar quadrados nas variáveis
e
para identificar melhor a forma. Reescrevo os termos em
e
:
Substituindo essas expressões na equação:
Os constantes
e
se cancelam, ficando:
Passo 3
Escrevo a equação numa forma mais explícita, definindo novas coordenadas centradas no vértice:
defina Em termos dessas variáveis:
defina
ou equivalente em forma simétrica
Essa é a forma canônica de um cone quadrático duplo (cones circulares retos) com vértice na origem do sistema
. Voltando às coordenadas originais, o vértice está em
Passo 4
Interpretação geométrica e orientação:
- É um cone circular duplo (duas nappes simétricas) cujo vértice é
. - O eixo do cone é a reta que corresponde ao eixo
(no sistema ), isto é, no sistema original é a reta
ou seja, a reta com
e
; ela é paralela ao eixo
.
- Para uma seção plana
(plano paralelo ao plano ) com , a interseção é um círculo centrado em de raio , pois substituindo obtém-se
- Em particular, para
a seção é um ponto: o vértice. - O ângulo de abertura do cone é de
. Explicando de forma simples: tome um ponto da superfície com e , por exemplo . O vetor gerador do vértice até esse ponto é e o eixo tem direção . O cosseno do ângulo entre eles é
logo
. (Isso também decorre de
, que dá raio igual a
.)
Passo 5
Interseções características (para ajudar no esboço):
- Plano
: da equação vem , ou seja . No plano a interseção são duas retas que se cruzam no vértice ; isso mostra o “V” nas duas direções típicas do cone. - Plano
: substituindo obtém , isto é, duas retas que saem do vértice no plano . - Plano
constante: já dito, seções circulares centradas em de raio .
Passo 6
Parametrização útil (para visualização/esboço):
uma parametrização que gera toda a superfície é, com parâmetros
pois então
satisfeita para todo
positivo gera a nappe com
e
negativo a nappe com
.
Instruções práticas para desenhar o esboço:
- Marque o vértice em
. - Trace o eixo do cone como a reta vertical (paralela ao eixo
) passando por , isto é a reta . - Em planos paralelos a
para valores de maiores que desenhe círculos centrados em com raio ; para desenhe círculos com raio . Isso mostra as duas nappes simétricas. - Indique que o ângulo entre geratriz e eixo é
.]
Resposta
A superfície é um cone circular duplo (quádruica cônica) cuja equação canônica, após translação do vértice, é
Vértice em
; eixo a reta
(paralela ao eixo
); ângulo de abertura
.