Determine a quádrica e sua orientação e faça um esboço:
x^{2}=(y-z)(y+z-2)

Passo 1

O enunciado dá a superfície no espaço tridimensional pela equação
x^{2}=(y-z)(y+z-2)
As perguntas que preciso responder são:
  • Qual é a quádrica representada por essa equação (classificação: cone, elipsoide, hiperbolóide, etc.)?
  • Qual a sua orientação (vértice, eixo, direção de abertura, ângulo de abertura)?
  • Fazer um esboço (descrever como desenhar/visualizar).
Informações relevantes dadas explicitamente: a equação algébrica acima define uma superfície em \mathbb{R}^{3} com variáveis x,y,z.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão do lado direito e reorganizar a equação para deixar evidente a forma quadrática. Multiplico e somo os termos:
(y-z)(y+z-2)=y^{2}-2y-z^{2}+2z.
Substituindo na equação original:
x^{2}=y^{2}-2y-z^{2}+2z.
Coloco tudo num só lado:
x^{2}-y^{2}+z^{2}+2y-2z=0.
Agora vou completar quadrados nas variáveis y e z para identificar melhor a forma. Reescrevo os termos em y e z:
-y^{2}+2y = -\bigl(y^{2}-2y\bigr) = -\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = - (y-1)^{2}+1,
z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Substituindo essas expressões na equação:
x^{2} + \bigl(- (y-1)^{2}+1\bigr) + \bigl((z-1)^{2}-1\bigr)=0.
Os constantes +1 e -1 se cancelam, ficando:
x^{2} - (y-1)^{2} + (z-1)^{2} = 0.

Passo 3

Escrevo a equação numa forma mais explícita, definindo novas coordenadas centradas no vértice:
defina \;u=x,\; v=z-1,\; w=y-1. Em termos dessas variáveis:
u^{2}+v^{2}-w^{2}=0,
ou equivalente em forma simétrica
u^{2}+v^{2}=w^{2}.
Essa é a forma canônica de um cone quadrático duplo (cones circulares retos) com vértice na origem do sistema (u,v,w). Voltando às coordenadas originais, o vértice está em
(x,y,z)=(0,1,1).

Passo 4

Interpretação geométrica e orientação:
  • É um cone circular duplo (duas nappes simétricas) cujo vértice é (0,1,1).
  • O eixo do cone é a reta que corresponde ao eixo w (no sistema (u,v,w)), isto é, no sistema original é a reta
\{(0,y,1)\mid y\in\mathbb{R}\},
ou seja, a reta com x=0 e z=1; ela é paralela ao eixo y.
  • Para uma seção plana y=\text{const} (plano paralelo ao plano xz) com y=y_{0}, a interseção é um círculo centrado em (0,y_{0},1) de raio |y_{0}-1|, pois substituindo y=y_{0} obtém-se
x^{2}+(z-1)^{2}=(y_{0}-1)^{2}.
  • Em particular, para y=1 a seção é um ponto: o vértice.
  • O ângulo de abertura do cone é de 45^\circ. Explicando de forma simples: tome um ponto da superfície com y-1=1 e z-1=0,\;x=1, por exemplo (1,2,1). O vetor gerador do vértice até esse ponto é (1,1,0) e o eixo tem direção (0,1,0). O cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta=\frac{(1,1,0)\cdot(0,1,0)}{\|(1,1,0)\|\cdot\|(0,1,0)\|}=\frac{1}{\sqrt{2}},
logo \theta=45^\circ. (Isso também decorre de u^{2}+v^{2}=w^{2}, que dá raio igual a |w|.)

Passo 5

Interseções características (para ajudar no esboço):
  • Plano x=0: da equação x=0 vem (z-1)^{2}=(y-1)^{2}, ou seja z-1=\pm(y-1). No plano x=0 a interseção são duas retas que se cruzam no vértice (0,1,1); isso mostra o “V” nas duas direções típicas do cone.
  • Plano z=1: substituindo z=1 obtém x^{2}=(y-1)^{2}, isto é, duas retas que saem do vértice no plano z=1.
  • Plano y= constante: já dito, seções circulares centradas em (0,y,1) de raio |y-1|.

Passo 6

Parametrização útil (para visualização/esboço):
uma parametrização que gera toda a superfície é, com parâmetros t\in\mathbb{R}\) e \(\theta\in[0,2\pi)\), \[\begin{cases} x = t\cos\theta,\\[4pt] y = 1 + t,\\[4pt] z = 1 + t\sin\theta, \end{cases}
pois então
x^{2}+(z-1)^{2}=t^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=t^{2}=(y-1)^{2},
satisfeita para todo t,\theta\]. Aqui \(t positivo gera a nappe com y>1 e t negativo a nappe com y<1.
Instruções práticas para desenhar o esboço:
  1. Marque o vértice em (0,1,1).
  2. Trace o eixo do cone como a reta vertical (paralela ao eixo y) passando por (0,1,1), isto é a reta x=0,z=1.
  3. Em planos paralelos a xz para valores de y maiores que 1 desenhe círculos centrados em (0,y,1) com raio y-1; para y<1 desenhe círculos com raio 1-y. Isso mostra as duas nappes simétricas.
  4. Indique que o ângulo entre geratriz e eixo é 45^\circ.]

Resposta

A superfície é um cone circular duplo (quádruica cônica) cuja equação canônica, após translação do vértice, é
x^{2}+(z-1)^{2}=(y-1)^{2}.
Vértice em (0,1,1); eixo a reta \{(0,y,1)\mid y\in\mathbb{R}\} (paralela ao eixo y); ângulo de abertura 45^\circ.

Exercícios relacionados