Determine a quádrica e sua orientação e faça um esboço:
Passo 1
O enunciado dá a superfície
O que é pedido:
- Determinar qual é a quádricas que essa equação representa (ou seja, reescrever numa forma padrão).
- Dizer a orientação dessa quádricas (direção do eixo, vértice, para onde ela “abre”).
- Fazer um esboço (instruções para desenhar).
Informações imediatas fornecidas pelo enunciado:
- Há um radical
, portanto a expressão só faz sentido real quando . - Para cada ponto
com existem dois valores de : e . Quando as duas folhas se encontram em .
Passo 2
Entender o domínio e as duas folhas:
- A condição de existência do radical é
Isso significa que a superfície está definida apenas acima (ou sobre) a parábola do plano
projetada no plano
— pense: projeção no plano
é a região
.
- A raiz quadrada é não-negativa, então:
- A folha
satisfaz . - A folha
satisfaz .
- A folha
- Na fronteira
temos e ambas as folhas se juntam em . Essa curva de interseção é a parábola
Passo 3
Reescrever em forma algébrica sem radical (cuidado ao elevar ao quadrado):
- Partindo de
, isolamos e elevamos ao quadrado:
- Reorganizando:
- Observação sobre a operação: elevar ao quadrado normalmente pode introduzir soluções extranhas, mas aqui as duas escolhas de sinal
foram originalmente presentes — portanto a equação quadrática é equivalente, conjunta, às duas equações dadas (cada sinal corresponde a uma folha).
Passo 4
Identificar a quádricas a partir da forma encontrada:
- A forma
é uma parábola quadrática onde
é igual à soma de dois quadrados. Isso é a equação de um paraboloide circular (paraboloide elíptico especial com coeficientes iguais) cujo eixo é paralelo ao eixo
.
- Características imediatas:
- Vértice: minimizar
dá e , então o vértice é o ponto . - Valor mínimo de
é no vértice, portanto a superfície existe para (o lado mínimo da parábola). - Eixo: a reta
, isto é, a reta que passa pelo vértice e é paralela ao eixo . - A superfície “abre” no sentido do aumento de
(isto é, para positivo): quanto maior , maior o raio da secção transversal. - Como os coeficientes de
e são iguais, as secções transversais por planos constante são círculos centrados em .
- Vértice: minimizar
Passo 5
Interpretar as secções planas (útil para desenhar e entender orientação):
- Interseção com plano
constante:
Isto é um círculo de raio
centrado em
, existente somente se
. Em particular:
- Para
o círculo tem raio (o vértice). - Para
obtemos círculos de raio crescente. - Interseção com plano
constante:
isto é, uma parábola no plano
que abre no sentido positivo de
, com vértice em
.
- Interseção com plano
constante:
parábola no plano
que abre também para
positivo, com vértice em
.
Passo 6
Relacionar com as duas folhas
:
- A forma final
descreve toda a superfície de uma vez. Ao resolver para em função de obtém-se exatamente as duas folhas originais:
- As duas folhas se encontram quando
, isto é ao longo da curva .
Passo 7
Como esboçar (passo a passo, sem depender de software):
- Marque o vértice em
. - Trace a reta do eixo da parábola: linha passando pelo vértice na direção do eixo
(ou seja, a linha ), indicando que a superfície abre para o lado de positivo. - No plano
desenhe a parábola horizontal ; essa é a interseção onde as duas folhas se encontram. - Para alguns valores de
positivos (por exemplo ) desenhe em lugares apropriados círculos de raio no plano paralelo centrados em . Esses círculos mostram as secções transversais: para o círculo degenera no vértice; para tem raio , etc. - Ligue suavemente esses círculos criando a superfície: observe que cada círculo tem pontos com
tanto acima quanto abaixo de ; assim a superfície tem uma “campânula” com duas faces simétricas em torno do plano , mas reunidas no vértice e na curva . - Marque claramente que não há pontos com
(porque o mínimo de é no vértice).
Passo 8
Resumo intuitivo e dicas para a prova:
- Ao ver uma expressão com
isolado e um radical envolvendo , é natural isolar e elevar ao quadrado para identificar a forma canônica. - Preste atenção ao domínio imposto pelo radical (
) e aos sinais (cada sinal corresponde a uma folha da mesma superfície). - Reconhecer a forma
soma de quadrados como paraboloide com eixo paralelo à variável solta (aqui a variável solta é ): isso dá rapidamente vértice, eixo e sentido de abertura. - Para o esboço, secções por
constante (círculos) são as mais informativas para paraboloides circulares.
Resposta
A superfície é o paraboloide circular dado por
.
Vértice: .
Eixo: reta , isto é, paralelo ao eixo
.
Abre no sentido de crescente (abre para
).
As duas folhas são a metade superior (
) e inferior (
) desse paraboloide, encontrando-se ao longo da curva
.
Vértice:
Eixo: reta
Abre no sentido de
As duas folhas