Determine a quádrica e sua orientação e faça um esboço:
z=1 \pm \sqrt{y-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z=1\pm\sqrt{y-x^{2}}.
O que é pedido:
  • Determinar qual é a quádricas que essa equação representa (ou seja, reescrever numa forma padrão).
  • Dizer a orientação dessa quádricas (direção do eixo, vértice, para onde ela “abre”).
  • Fazer um esboço (instruções para desenhar).
Informações imediatas fornecidas pelo enunciado:
  • Há um radical \sqrt{y-x^{2}}, portanto a expressão só faz sentido real quando y-x^{2}\ge0.
  • Para cada ponto (x,y) com y\ge x^{2} existem dois valores de z: z=1+\sqrt{y-x^{2}} e z=1-\sqrt{y-x^{2}}. Quando y=x^{2} as duas folhas se encontram em z=1.

Passo 2

Entender o domínio e as duas folhas:
  • A condição de existência do radical é
y-x^{2}\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad y\ge x^{2}.
Isso significa que a superfície está definida apenas acima (ou sobre) a parábola do plano z=1 projetada no plano xy — pense: projeção no plano xy é a região \{(x,y)\mid y\ge x^{2}\}.
  • A raiz quadrada é não-negativa, então:
    • A folha z=1+\sqrt{y-x^{2}} satisfaz z\ge1.
    • A folha z=1-\sqrt{y-x^{2}} satisfaz z\le1.
  • Na fronteira y=x^{2} temos \sqrt{y-x^{2}}=0 e ambas as folhas se juntam em z=1. Essa curva de interseção é a parábola
y=x^{2},\quad z=1.

Passo 3

Reescrever em forma algébrica sem radical (cuidado ao elevar ao quadrado):
  • Partindo de z=1\pm\sqrt{y-x^{2}}, isolamos z-1=\pm\sqrt{y-x^{2}} e elevamos ao quadrado:
(z-1)^{2}=y-x^{2}.
  • Reorganizando:
y = x^{2}+(z-1)^{2}.
  • Observação sobre a operação: elevar ao quadrado normalmente pode introduzir soluções extranhas, mas aqui as duas escolhas de sinal \pm foram originalmente presentes — portanto a equação quadrática (z-1)^{2}=y-x^{2} é equivalente, conjunta, às duas equações dadas (cada sinal corresponde a uma folha).

Passo 4

Identificar a quádricas a partir da forma encontrada:
  • A forma
y = x^{2}+(z-1)^{2}
é uma parábola quadrática onde y é igual à soma de dois quadrados. Isso é a equação de um paraboloide circular (paraboloide elíptico especial com coeficientes iguais) cujo eixo é paralelo ao eixo y.
  • Características imediatas:
    • Vértice: minimizar x^{2}+(z-1)^{2} x=0 e z=1, então o vértice é o ponto (0,0,1).
    • Valor mínimo de y é 0 no vértice, portanto a superfície existe para y\ge0 (o lado mínimo da parábola).
    • Eixo: a reta \{(0,y,1):y\in\mathbb{R}\}, isto é, a reta que passa pelo vértice e é paralela ao eixo y.
    • A superfície “abre” no sentido do aumento de y (isto é, para y positivo): quanto maior y, maior o raio da secção transversal.
    • Como os coeficientes de x^{2} e (z-1)^{2} são iguais, as secções transversais por planos y= constante são círculos centrados em (x,z)=(0,1).

Passo 5

Interpretar as secções planas (útil para desenhar e entender orientação):
  • Interseção com plano y=y_{0} constante:
x^{2}+(z-1)^{2}=y_{0}.
Isto é um círculo de raio \sqrt{y_{0}} centrado em (x,z)=(0,1), existente somente se y_{0}\ge0. Em particular:
  • Para y_{0}=0 o círculo tem raio 0 (o vértice).
  • Para y_{0}>0 obtemos círculos de raio crescente.
  • Interseção com plano x=x_{0} constante:
(z-1)^{2}=y-x_{0}^{2},
isto é, uma parábola no plano y\!-\!z que abre no sentido positivo de y, com vértice em (y,z)=(x_{0}^{2},1).
  • Interseção com plano z=z_{0} constante:
x^{2}=y-(z_{0}-1)^{2},
parábola no plano x\!-\!y que abre também para y positivo, com vértice em (x,y)=(0,(z_{0}-1)^{2}).

Passo 6

Relacionar com as duas folhas z=1\pm\sqrt{y-x^{2}}:
  • A forma final y=x^{2}+(z-1)^{2} descreve toda a superfície de uma vez. Ao resolver para z em função de x,y obtém-se exatamente as duas folhas originais:
z=1+\sqrt{y-x^{2}}\quad\text{(folha superior, }z\ge1\text{)}
z=1-\sqrt{y-x^{2}}\quad\text{(folha inferior, }z\le1\text{)}.
  • As duas folhas se encontram quando \sqrt{y-x^{2}}=0, isto é ao longo da curva y=x^{2},\\ z=1.

Passo 7

Como esboçar (passo a passo, sem depender de software):
  1. Marque o vértice em (0,0,1).
  2. Trace a reta do eixo da parábola: linha passando pelo vértice na direção do eixo y (ou seja, a linha x=0,\\ z=1), indicando que a superfície abre para o lado de y positivo.
  3. No plano z=1 desenhe a parábola horizontal y=x^{2}; essa é a interseção onde as duas folhas se encontram.
  4. Para alguns valores de y positivos (por exemplo y=0,\,1,\,4) desenhe em lugares apropriados círculos de raio \sqrt{y} no plano paralelo xz centrados em (x,z)=(0,1). Esses círculos mostram as secções transversais: para y=0 o círculo degenera no vértice; para y=1 tem raio 1, etc.
  5. Ligue suavemente esses círculos criando a superfície: observe que cada círculo tem pontos com z tanto acima quanto abaixo de 1; assim a superfície tem uma “campânula” com duas faces simétricas em torno do plano z=1, mas reunidas no vértice e na curva y=x^{2},z=1.
  6. Marque claramente que não há pontos com y<0 (porque o mínimo de y é 0 no vértice).

Passo 8

Resumo intuitivo e dicas para a prova:
  • Ao ver uma expressão com z isolado e um radical envolvendo y-x^{2}, é natural isolar e elevar ao quadrado para identificar a forma canônica.
  • Preste atenção ao domínio imposto pelo radical ( y\ge x^{2}) e aos sinais \pm (cada sinal corresponde a uma folha da mesma superfície).
  • Reconhecer a forma y= soma de quadrados como paraboloide com eixo paralelo à variável solta (aqui a variável solta é y): isso dá rapidamente vértice, eixo e sentido de abertura.
  • Para o esboço, secções por y= constante (círculos) são as mais informativas para paraboloides circulares.

Resposta

A superfície é o paraboloide circular dado por y=x^{2}+(z-1)^{2}.
Vértice: (0,0,1).
Eixo: reta \{(0,y,1)\}, isto é, paralelo ao eixo y.
Abre no sentido de y crescente (abre para +\!y).
As duas folhas z=1\pm\sqrt{y-x^{2}} são a metade superior ( z\ge1) e inferior ( z\le1) desse paraboloide, encontrando-se ao longo da curva y=x^{2},\\ z=1.

Exercícios relacionados