Desenhe as curvas de nível das funções dadas por:
f(x, y)=x^2,-1 ackslash <= x ackslash <= 0 e y ackslash >= 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de
f(x,y)=x^2
no domínio descrito por -1<= x<=0 e y>=0.
Conteúdo: curvas de nível de funções de duas variáveis.
O que vamos usar: a definição de curva de nível
f(x,y)=k
e depois impor as restrições do domínio.

Passo 2

Para um nível genérico k, a curva de nível é dada por
f(x,y)=k Longrightarrow x^2=k

Passo 3

Da equação x^2=k obtemos
x=pmraizk
No plano (x,y), isso normalmente daria duas retas verticais (uma em x=+raizk e outra em x=-raizk), com y livre.

Passo 4

Agora impondo o domínio:
  1. Como y>=0, em cada x válido a curva só existe na região acima do eixo x.
  2. Como -1<= x<=0, a solução x=+raizk só entra no domínio se +raizk estiver entre -1 e 0, o que nunca ocorre para k>0.
  3. Logo, a única parte relevante é
x=-raizk,
com -1<= -raizk<=0. Isso implica
0<= k<=1

Passo 5

Conclusão gráfica: para cada k em [0,1], a curva de nível é a reta vertical
x=-raizk,
limitada à região y>=0.
Isto gera um conjunto de semirretas verticais paralelas, indo de y=0 até ytoinfty, localizadas entre x=-1 (quando k=1) e x=0 (quando k=0).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^2 no domínio dado são as retas verticais
x=-raizk, 0<= k<=1,
com y>=0.

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