Obtenha uma equação para a reta tangente ao gráfico de y=raiz3 sen(x)5-4 cos (x) no ponto de abscissa pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = raiz3,sen(x)5 - 4cos(x)
no ponto de abscissa x = pi/3.
Conteúdo: derivada e equação da reta tangente.
O que faremos:
  1. calcular y'(x) por regra do quociente;
  2. avaliar y(pi/3) e y'(pi/3);
  3. montar a reta usando a forma ponto-declive.

Passo 2

Defina
u(x) = raiz3,sen(x), v(x) = 5 - 4cos(x)
Então
u'(x) = raiz3,cos(x), v'(x) = 4,sen(x)
Pela regra do quociente,
y' = u'v - u,v'v^2

Passo 3

Compute o numerador:
u'v - u,v' = raiz3cos x,(5-4cos x) - raiz3sen x,(4sen x) = raiz3l(5cos x -4cos^2 x -4sen^2 xr)
Como cos^2 x+sen^2 x=1, temos
u'v - u,v' = raiz3,(5cos x -4)

Passo 4

Logo a derivada simplificada é
y' = raiz3,(5cos x -4)l(5-4cos xr)^2

Passo 5

Agora calcule o ponto de tangência. Em x=pi/3,
sen(pi/3)=tfracraiz32 e cos(pi/3)=tfrac12.
Então
yl(tfracpi3r) = raiz3,raiz325 - 4cdot12 = tfrac323 = tfrac12

Passo 6

Avalie a derivada em x=pi/3:
y'l(tfracpi3r) = raiz3l(5cdottfrac12 -4r)(5-4cdottfrac12)^2 = raiz3,(tfrac52-4)3^2 = raiz3,(-tfrac32)9 = -raiz36
Esse é o declive m.

Passo 7

A reta tangente em l(tfracpi3,tfrac12r) com declive m=-tfracraiz36 fica, na forma ponto-declive:
y - 12 = -raiz36l(x - pi3r)

Resposta

y - 12 = -raiz36l(x - pi3r)

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