Determine (caso existam) os seguintes limites:
lim theta 0 sen(4 theta)tg(5 theta)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limthetato0sen(4theta)tg(5theta)
Isso é um limite de razão de funções trigonométricas que tendem a zero, gerando a forma 0/0. Para resolver, vamos usar as identidades trigonométricas básicas e o limite notável
limxto0sin xx=1, limxto0tan xx=1

Passo 2

Reescrevemos tg(5theta) em termos de sen e cos:
sen(4theta)tg(5theta) =sen(4theta),cos(5theta)sen(5theta) =cos(5theta),sen(4theta)sen(5theta)

Passo 3

Separamos o limite em dois fatores:
limthetato0cos(5theta);=;cos(0);=;1,
limthetato0sen(4theta)sen(5theta) =limthetato0sen(4theta)/(4theta)sen(5theta)/(5theta)cdot4theta5theta =11cdot45 =45

Passo 4

Multiplicando os resultados acima, obtemos
limthetato0sen(4theta)tg(5theta) =1cdot45 =45

Resposta

45

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