Determine o ponto no qual o gráfico de y=x^3 e^1 / x, com x neq 0, tem reta tangente horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^3e^1/x, x neq 0
e pede o ponto onde a reta tangente é horizontal. O conteúdo aqui é derivada de produto e condição de tangente horizontal (isto é, y'=0).

Passo 2

Vamos calcular y' usando a regra do produto em
y = u(x),v(x),
com u(x)=x^3 e v(x)=e^1/x. Temos
u'(x)=3x^2,
e, como ddx(1/x)=-1/x^2,
v'(x)=e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r)
Logo, pela regra do produto,
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) =3x^2e^1/x + x^3,e^1/xl(-tfrac1x^2r)

Passo 3

Simplificando a expressão de y',
y' = e^1/xl(3x^2 - xr) = e^1/x,x,(3x-1)
Para reta tangente horizontal precisamos de y'=0. Como e^1/xneq0 para todo x, temos
x,(3x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou 3x-1=0
Como xneq0 no domínio, fica
3x-1=0 Longrightarrow x=tfrac13

Passo 4

Agora encontramos a ordenada y em x=tfrac13:
yl(tfrac13r) =l(tfrac13r)^3 ,e^,1/(1/3) =tfrac127,e^3

Resposta

O gráfico tem reta tangente horizontal no ponto
l(tfrac13,,tfrace^327r)

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