Desenhe as curvas de nível f(x, y)=k de f para os valores de k dados:
f(x, y)=x^2-y^2, curvas de nível para k=0 ; k=1 ; k=4 k=-1.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
f(x,y)=x^2-y^2
correspondentes aos valores de k=0, k=1, k=4 e k=-1. O conteúdo aqui é estudar as curvas de nível de funções de duas variáveis, que no caso de x^2-y^2=k são hipérboles (ou retas, quando k=0). Vamos usar análise algébrica para classificar cada curva.

Passo 2

Escrevemos a equação geral da curva de nível:
x^2-y^2=k
Podemos distinguir três casos:
1. k=0: x^2-y^2=0 fatoriza em (x-y)(x+y)=0, que são duas retas.
2. k>0: resulta em hipérbole com eixos ao longo do eixo x.
3. k<0: resulta em hipérbole com eixos ao longo do eixo y.

Passo 3

Para k=0,1,4:
  • k=0:
x^2-y^2=0
é equivalente a
x - y = 0 ou x + y = 0,
ou seja, as retas y=x e y=-x.
  • k=1:
x^2-y^2=1 Long<=ftrightarrow x^21-y^21=1
É uma hipérbole com vértices em (pm1,0) e assíntotas y=pm x.
  • k=4:
x^2-y^2=4 Long<=ftrightarrow x^24-y^24=1
É uma hipérbole com vértices em (pm2,0) e mesmas assíntotas y=pm x.

Passo 4

Para k=-1:
x^2-y^2=-1 Long<=ftrightarrow y^2-x^2=1 Long<=ftrightarrow y^21-x^21=1
Isso dá uma hipérbole com vértices em (0,pm1) e assíntotas novamente y=pm x.

Resposta

Para k=0: retas y=x e y=-x.
Para k=1: hipérbole x^2-y^2=1 com vértices em (pm1,0) e assíntotas y=pm x.
Para k=4: hipérbole x^2-y^2=4 com vértices em (pm2,0) e assíntotas y=pm x.
Para k=-1: hipérbole x^2-y^2=-1 com vértices em (0,pm1) e assíntotas y=pm x.

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