Determine as derivadas parciais indicadas:
z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w, partial wpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0

Passo 1

Temos as variáveis ligadas por
z = x^2 + x,y^3, x = u,v^2 + w^3, y = u + v,e^w
Queremos partial wpartial u, partial zpartial v e partial zpartial w.
O método é usar que u,v,w são independentes (logo tfracpartial wpartial u é trivial) e aplicar a regra da cadeia para tfracpartial zpartial v e tfracpartial zpartial w.

Passo 2

Como u,v,w são coordenadas independentes, w não depende de u. Logo
partial wpartial u = 0

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de x e y:
x = u,v^2 + w^3 Longrightarrow xu = v^2,;xv = 2,u,v,;xw = 3,w^2,
y = u + v,e^w Longrightarrow yu = 1,;yv = e^w,;yw = v,e^w

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
z = x^2 + x,y^3 Longrightarrow zx = 2,x + y^3, zy = 3,x,y^2

Passo 5

Pela regra da cadeia,
partial zpartial v = zx,xv + zy,yv, partial zpartial w = zx,xw + zy,yw

Passo 6

Avalie tudo em u=2,;v=1,;w=0. Primeiro os valores de x e y:
x(2,1,0) = 2cdot1^2 + 0^3 = 2, y(2,1,0) = 2 + 1cdot e^0 = 3
Em seguida:
xv(2,1,0)=2cdot2cdot1=4, xw(2,1,0)=3cdot0^2=0,
yv(2,1,0)=e^0=1, yw(2,1,0)=1cdot e^0=1,
zx(2,1,0)=2cdot2 + 3^3=4+27=31, zy(2,1,0)=3cdot2cdot3^2=54
Logo:
partial zpartial v|(2,1,0) = 31cdot4 + 54cdot1 = 124 + 54 = 178,
partial zpartial w|(2,1,0) = 31cdot0 + 54cdot1 = 54

Resposta

partial wpartial u=0, partial zpartial v=178, partial zpartial w=54

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