Desenhe o gráfico das seguintes funções de
em
.
Passo 1
O enunciado pede: desenhar o gráfico da função
dada por
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
- Coeficientes da parábola:
, , . - A pergunta é: desenhar o gráfico (ou seja, identificar os pontos e características principais e indicar como traçar a parábola).
Passo 2
Entendendo o tipo de curva e o que isso implica (aula rápida e sem drama).
- Quando temos uma função do tipo quadrática
, o gráfico é uma parábola. - O sinal de
decide se a parábola abre para cima ou para baixo: - Se
a parábola abre para cima (tem um mínimo). - Se
abre para baixo (tem um máximo).
Aqui, então a parábola abre para cima e terá um ponto mínimo (o vértice). Isso já nos diz qualitativamente a forma: “U” voltado para cima. Também significa que a função tem intervalo de crescimento e decrescimento com um único ponto crítico (o vértice).
- Se
Passo 3
Achar o vértice usando a fórmula do vértice (fórmula direta).
- A abscissa do vértice é dada por
. - Para nossa função:
- A ordenada do vértice é
. Calculando:
Portanto o vértice é o ponto
. Isso é o ponto mínimo da parábola.
Passo 4
Explicação alternativa (completar o quadrado) e forma “canônica” — útil para desenhar.
- Vamos reescrever
por completamento do quadrado para ver como a parábola é uma translação/escalamento de .
então
- Essa forma
mostra claramente que é a parábola com , deslocada para a esquerda de 1 unidade e para baixo de 3 unidades. Isso confirma o vértice . Também mostra que o coeficiente é um esticamento vertical (a parábola é mais “estreita” que ).
Passo 5
Intersecção com o eixo
(fácil e importante para o rascunho).
- A intersecção com o eixo
é : - Ponto:
. Marque esse ponto no esboço.
Passo 6
Encontrar as raízes (intersecções com o eixo
) usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
- A equação
tem discriminante - As raízes são
- Valores aproximados (úteis para desenhar):
, então - Marque esses dois pontos onde a parábola cruza o eixo
.
Passo 7
Pontos simétricos e alguns pontos extras para guiar o desenho.
- A parábola tem eixo de simetria
, aqui . Pontos com abscissas equidistantes de têm mesma ordenada. - Note que
(já calculado) e . Assim os pontos e são simétricos em relação à reta . - Calcular mais um ponto à direita do vértice para ver a famosa “abertura” (mostra quão íngreme é):
. Então está bem acima. - Esses pontos dão uma boa ideia da forma: vértice baixo em
, passa por , , cruza o eixo em e , e sobe rapidamente para valores maiores.
Passo 8
Monotonicidade (quando a função cresce e decresce) — uma dica rápida com derivada (fórmula fácil).
- A derivada é
. - Zera em
(o vértice), tem para e para . - Conclusão:
é decrescente em e crescente em . Isso ajuda a traçar a parábola com a curvatura correta.
Passo 9
Domínio e imagem (range) — importante para entender a extensão vertical.
- Domínio: todos os reais, ou seja
. - Como a parábola abre para cima e tem mínimo em
, a imagem (conjunto de valores possíveis de ) é
Passo 10
Passo a passo prático para desenhar (faça no caderno com calma; isso é a versão que você pode reproduzir na prova):
- Marque o vértice
. - Desenhe a reta vertical do eixo de simetria
(linha guia, leve). - Marque a intersecção com o eixo
: . - Marque o ponto simétrico
. - Marque as raízes aproximadas
e . - Marque mais um ponto de referência como
para visualizar a subida rápida. - Ligue suavemente os pontos com a forma típica de parábola em “U”, lembrando que por
ela é mais estreita que (subida mais rápida para valores grandes de ). - Confirme que o mínimo é em
e que para muito grandes positivos ou negativos .
Passo 11
Resumo didático rápido (para memorizar na hora da prova):
- Para desenhar uma quadrática, sempre calcule:
, vértice (fórmula ou completar o quadrado), interceptos com eixos, e alguns pontos simétricos. Use o sinal de para saber se abre para cima ou para baixo e use a forma canônica para ver translações e esticamentos.
Resposta
Vértice:
Abertura: para cima (pois ), parábola mais estreita que
(esticamento vertical por factor
)
Eixo de simetria:
Intersecção com :
Raízes (intersecção com ):
(aproximadamente
e
)
Domínio:
Imagem:
Abertura: para cima (pois
Eixo de simetria:
Intersecção com
Raízes (intersecção com
Domínio:
Imagem: