Desenhe o gráfico das seguintes funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}.
f(x)=2 x^{2}+4 x-1

Passo 1

O enunciado pede: desenhar o gráfico da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=2x^{2}+4x-1.
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • Coeficientes da parábola: a=2, b=4, c=-1.
  • A pergunta é: desenhar o gráfico (ou seja, identificar os pontos e características principais e indicar como traçar a parábola).

Passo 2

Entendendo o tipo de curva e o que isso implica (aula rápida e sem drama).
  • Quando temos uma função do tipo quadrática f(x)=ax^{2}+bx+c, o gráfico é uma parábola.
  • O sinal de a decide se a parábola abre para cima ou para baixo:
    • Se a>0 a parábola abre para cima (tem um mínimo).
    • Se a<0 abre para baixo (tem um máximo).
      Aqui a=2>0, então a parábola abre para cima e terá um ponto mínimo (o vértice). Isso já nos diz qualitativamente a forma: “U” voltado para cima. Também significa que a função tem intervalo de crescimento e decrescimento com um único ponto crítico (o vértice).

Passo 3

Achar o vértice usando a fórmula do vértice (fórmula direta).
  • A abscissa do vértice é dada por \displaystyle x_v=-\dfrac{b}{2a}.
  • Para nossa função: x_v=-\dfrac{4}{2\cdot 2}=-1.
  • A ordenada do vértice é y_v=f(x_v)=f(-1). Calculando: f(-1)=2(-1)^{2}+4(-1)-1=2-4-1=-3.
Portanto o vértice é o ponto (-1,-3). Isso é o ponto mínimo da parábola.

Passo 4

Explicação alternativa (completar o quadrado) e forma “canônica” — útil para desenhar.
  • Vamos reescrever f(x) por completamento do quadrado para ver como a parábola é uma translação/escalamento de x^{2}. f(x)=2x^{2}+4x-1 = 2\bigl(x^{2}+2x\bigr)-1.
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,
então
f(x)=2\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)-1=2(x+1)^{2}-2-1=2(x+1)^{2}-3.
  • Essa forma \displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-3 mostra claramente que é a parábola y=2u^{2} com u=x+1, deslocada para a esquerda de 1 unidade e para baixo de 3 unidades. Isso confirma o vértice (-1,-3). Também mostra que o coeficiente 2 é um esticamento vertical (a parábola é mais “estreita” que y=x^{2}).

Passo 5

Intersecção com o eixo y (fácil e importante para o rascunho).
  • A intersecção com o eixo y é f(0): f(0)=2\cdot 0^{2}+4\cdot0-1=-1.
  • Ponto: (0,-1). Marque esse ponto no esboço.

Passo 6

Encontrar as raízes (intersecções com o eixo x) usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
  • A equação 2x^{2}+4x-1=0 tem discriminante \Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot2\cdot(-1)=16+8=24.
  • As raízes são x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{-2\pm\sqrt{6}}{2}.
  • Valores aproximados (úteis para desenhar): \sqrt{6}\approx 2{,}449, então x_{1}=\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}\approx 0{,}2247,\qquad x_{2}=\dfrac{-2-\sqrt{6}}{2}\approx -2{,}2247.
  • Marque esses dois pontos onde a parábola cruza o eixo x.

Passo 7

Pontos simétricos e alguns pontos extras para guiar o desenho.
  • A parábola tem eixo de simetria x=x_v, aqui x=-1. Pontos com abscissas equidistantes de -1 têm mesma ordenada.
  • Note que f(0)=-1 (já calculado) e f(-2)=-1. Assim os pontos (0,-1) e (-2,-1) são simétricos em relação à reta x=-1.
  • Calcular mais um ponto à direita do vértice para ver a famosa “abertura” (mostra quão íngreme é): f(1)=2\cdot1^{2}+4\cdot1-1=2+4-1=5. Então (1,5) está bem acima.
  • Esses pontos dão uma boa ideia da forma: vértice baixo em (-1,-3), passa por (-2,-1), (0,-1), cruza o eixo x em \approx -2{,}2247 e \approx 0{,}2247, e sobe rapidamente para valores maiores.

Passo 8

Monotonicidade (quando a função cresce e decresce) — uma dica rápida com derivada (fórmula fácil).
  • A derivada é f'(x)=4x+4.
  • Zera em x=-1 (o vértice), tem f'(x)<0 para x<-1 e f'(x)>0 para x>-1.
  • Conclusão: f é decrescente em (-\infty,-1] e crescente em [-1,\infty). Isso ajuda a traçar a parábola com a curvatura correta.

Passo 9

Domínio e imagem (range) — importante para entender a extensão vertical.
  • Domínio: todos os reais, ou seja \mathbb{R}.
  • Como a parábola abre para cima e tem mínimo em y=-3, a imagem (conjunto de valores possíveis de f) é \{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -3\}.

Passo 10

Passo a passo prático para desenhar (faça no caderno com calma; isso é a versão que você pode reproduzir na prova):
  1. Marque o vértice (-1,-3).
  2. Desenhe a reta vertical do eixo de simetria x=-1 (linha guia, leve).
  3. Marque a intersecção com o eixo y: (0,-1).
  4. Marque o ponto simétrico (-2,-1).
  5. Marque as raízes aproximadas \left(\dfrac{-2-\sqrt{6}}{2},0\right)\approx(-2{,}2247,0) e \left(\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2},0\right)\approx(0{,}2247,0).
  6. Marque mais um ponto de referência como (1,5) para visualizar a subida rápida.
  7. Ligue suavemente os pontos com a forma típica de parábola em “U”, lembrando que por a=2 ela é mais estreita que y=x^{2} (subida mais rápida para valores grandes de |x|).
  8. Confirme que o mínimo é em (-1,-3) e que para x muito grandes positivos ou negativos f(x)\to+\infty.

Passo 11

Resumo didático rápido (para memorizar na hora da prova):
  • Para desenhar uma quadrática, sempre calcule: a,b,c, vértice (fórmula ou completar o quadrado), interceptos com eixos, e alguns pontos simétricos. Use o sinal de a para saber se abre para cima ou para baixo e use a forma canônica para ver translações e esticamentos.

Resposta

Vértice: (-1,-3)
Abertura: para cima (pois a=2>0), parábola mais estreita que y=x^{2} (esticamento vertical por factor 2)
Eixo de simetria: x=-1
Intersecção com y: (0,-1)
Raízes (intersecção com x): x=\dfrac{-2\pm\sqrt{6}}{2} (aproximadamente x\approx -2{,}2247 e x\approx 0{,}2247)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -3\}

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