Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente e, caso seja convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias sobre intervalo infinito e uso de propriedades de funções ímpares.
Passo 2
Note que o integrando
é uma função ímpar, pois
Para integrais simétricas em torno de zero, se as integrais de cada metade convergem, vale
Resta verificar a convergência de cada uma das integrais impróprias
e
.
Passo 3
Vamos testar a convergência de
por substituição. Defina
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim,
Logo essa integral converge.
Passo 4
Pela imparidade,
Como ambas as partes convergem, a integral total converge e vale
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.