Desenhe a imagem de f: A subset R^2 R^3 dada por f(x, y)=(x, y,-x-y), onde A=(u, v) mid u, v >= 0 e u+v <= 1.
7. Mais exercícios sobre noções básicas do R^n podem ser encontrados em livros de Cálculo 2. Por exemplo, no capítulo 6 de H.L. Guidorizzi, Um curso de Cálculo volume 2, Editora LTC, além da teoria, você encontrará muitos exercícios.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da transformação f: AsubsetR^2toR^3 dada por f(x,y)=(x,y,-x-y), onde A=(u,v)mid u,v>=0,;u+v<=1. O conteúdo é geometria de imagens de conjuntos em R^n.

Passo 2

Primeiro identificamos A: é o triângulo no plano uv com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1), pois u,v>=0 e u+v<=1.
A aplicação f(x,y)=(x,y,-x-y) leva qualquer ponto (x,y) em R^2 para o plano x+y+z=0 em R^3. Logo a imagem de A será um triângulo planar nesse plano.

Passo 3

Calculamos a imagem dos vértices de A:
  • (0,0)mapsto(0,0,0)
  • (1,0)mapsto(1,0,-1)
  • (0,1)mapsto(0,1,-1)

Passo 4

Assim, f(A) é o triângulo convexo de vértices (0,0,0), (1,0,-1) e (0,1,-1) contido no plano x+y+z=0.

Resposta

A imagem é o triângulo
f(A)=(x,y,-x-y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1,
com vértices em (0,0,0), (1,0,-1) e (0,1,-1) no plano x+y+z=0. Skecth: um triângulo apoiado nos eixos x e y, inclinado de modo que z=-x-y.

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