Determine todos os pontos do gráfico de f(x)=x^3+2 x^2-3 x-1 em que a reta tangente a ele seja:
(a) Horizontal.
(b) Paralela à reta y-7 x+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos do gráfico de f(x)=x3+2x2−3x−1 onde a reta tangente é (a) horizontal e (b) paralela à reta y−7x+1=0. Vamos usar derivadas para encontrar o declive (slope) da tangente e depois igualar aos valores desejados.

Passo 2

A derivada de f(x) nos dá o declive da reta tangente. Calculamos
f'(x)=ddxl(x^3+2x^2-3x-1r)=3x^2+4x-3

Passo 3

Para reta tangente horizontal, igualamos f’(x)=0. Assim temos
3x^2+4x-3=0
Resolvendo:
x=-4pmraiz4^2-4cdot3cdot(-3)2cdot3=-4pmraiz16+366=-4pm2raiz136=-2pmraiz133

Passo 4

Agora calculamos f(x) nesses valores. Para x_1=(−2+√13)/3 obtemos
f(x1)=43-26raiz1327
E para x_2=(−2−√13)/3 obtemos
f(x2)=43+26raiz1327

Passo 5

Para reta paralela à y−7x+1=0, o declive desejado é m=7. Logo igualamos f’(x)=7:
3x^2+4x-3=7Longrightarrow3x^2+4x-10=0
Resolvendo:
x=-4pmraiz4^2-4cdot3cdot(-10)6=-4pmraiz16+1206=-4pm2raiz346=-2pmraiz343

Passo 6

Finalmente, avaliamos f(x) nesses dois x. Para x_3=(−2+√34)/3:
f(x3)=43-5raiz3427
E para x_4=(−2−√34)/3:
f(x4)=43+5raiz3427

Resposta

(a) Pontos de tangente horizontal: l(tfrac-2+raiz133,,tfrac43-26raiz1327r) e l(tfrac-2-raiz133,,tfrac43+26raiz1327r).
(b) Pontos de tangente paralela a y−7x+1=0: l(tfrac-2+raiz343,,tfrac43-5raiz3427r) e l(tfrac-2-raiz343,,tfrac43+5raiz3427r).

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