Determine todos os pontos do gráfico de
em que a reta tangente a ele seja:
(a) Horizontal.
(b) Paralela à reta
.
(a) Horizontal.
(b) Paralela à reta
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos do gráfico de f(x)=x3+2x2−3x−1 onde a reta tangente é (a) horizontal e (b) paralela à reta y−7x+1=0. Vamos usar derivadas para encontrar o declive (slope) da tangente e depois igualar aos valores desejados.
Passo 2
A derivada de f(x) nos dá o declive da reta tangente. Calculamos
Passo 3
Para reta tangente horizontal, igualamos f’(x)=0. Assim temos
Resolvendo:
Passo 4
Agora calculamos f(x) nesses valores. Para x_1=(−2+√13)/3 obtemos
E para x_2=(−2−√13)/3 obtemos
Passo 5
Para reta paralela à y−7x+1=0, o declive desejado é m=7. Logo igualamos f’(x)=7:
Resolvendo:
Passo 6
Finalmente, avaliamos f(x) nesses dois x. Para x_3=(−2+√34)/3:
E para x_4=(−2−√34)/3:
Resposta
(a) Pontos de tangente horizontal:
e
.
(b) Pontos de tangente paralela a y−7x+1=0: e
.
(b) Pontos de tangente paralela a y−7x+1=0: