Exercício 1 (Regra da cadeia) Calcule:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 5xraiz[3](9-4x^2)^2,dx. O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia via substituição (u-substituição), já que temos uma função composta (9-4x^2)^2/3 multiplicada por x.

Passo 2

Vamos definir a substituição adequada. Seja u = 9 - 4x^2. Então
du = ddx(9 - 4x^2),dx = -8x,dxLongrightarrow x,dx = -18,du

Passo 3

Agora expressamos toda a integral em termos de u. Note que (9-4x^2)^2/3 = u^2/3. Assim:
integral 5x,(9-4x^2)^2/3,dx = 5integral x,u^2/3,dx = 5integral u^2/3l(-tfrac18,dur) = -tfrac58integral u^2/3,du

Passo 4

Agora integramos uma potência de u. Sabemos que integral u^p,du = u^p+1/(p+1) quando pneq -1. Aqui p = tfrac23, então
integral u^2/3,du = u^5/35/3 = 35,u^5/3

Passo 5

Substituindo de volta na constante que ficou fora:
-tfrac58cdot 35,u^5/3 = -tfrac38,u^5/3 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x usando u = 9 - 4x^2:
-38,(9-4x^2)^5/3 + C

Resposta

-tfrac38(9-4x^2)^5/3 + C

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