Neste problema, guiaremos você em uma prova analítica da desigualdade triangular (6).
Como
e
são números reais positivos, temos que
se e somente se
. Por conseguinte, basta mostrar que
.
(a) Explique por que
.
(b) Explique por que
.
© Use as partes (a) e (b) em conjunto com os resultados do Problema 46 para obter (6).
(a) Explique por que
(b) Explique por que
© Use as partes (a) e (b) em conjunto com os resultados do Problema 46 para obter (6).
Passo 1
O enunciado pede para provar analiticamente a desigualdade triangular para números complexos, ou seja, mostrar que
mas fazendo isso pelos quadrados dos módulos. Vamos usar expansão de produto, parte real e a desigualdade
.
Passo 2
Para (a), usamos que o módulo ao quadrado de um número complexo é ele vezes seu conjugado. Logo,
Como
z2bar z1=z1bar z2 , temos
e, portanto,
Passo 3
Para (b), basta expandir o quadrado da soma de dois números reais positivos:\
Mas como
|z1|,|z2|=|z1bar z2| , temos
Passo 4
Para ©, combinamos (a) e (b) e usamos a desigualdade do Problema 46, que diz que para qualquer
w complexo vale
Re(w)<=|w| . Assim,
Finalmente, como ambos os lados são não-negativos, tiramos raiz e obtemos a desigualdade triangular.
O passo final é reconhecer que elevar ambos os lados a raiz quadrada preserva a desigualdade quando os dois lados são não-negativos.
O passo final é reconhecer que elevar ambos os lados a raiz quadrada preserva a desigualdade quando os dois lados são não-negativos.
Resposta
Daí segue-se que
prova concluída.