Neste problema, guiaremos você em uma prova analítica da desigualdade triangular (6).
Como e são números reais positivos, temos que se e somente se . Por conseguinte, basta mostrar que .
(a) Explique por que .
(b) Explique por que .
© Use as partes (a) e (b) em conjunto com os resultados do Problema 46 para obter (6).

Passo 1

O enunciado pede para provar analiticamente a desigualdade triangular para números complexos, ou seja, mostrar que
|z1+z2|<=|z1|+|z2|,
mas fazendo isso pelos quadrados dos módulos. Vamos usar expansão de produto, parte real e a desigualdade Re(w)<=|w|.

Passo 2

Para (a), usamos que o módulo ao quadrado de um número complexo é ele vezes seu conjugado. Logo,
|z1+z2|^2=(z1+z2),(z1+z2)=z1bar z1+z1bar z2+z2bar z1+z2bar z2
Como z2bar z1=z1bar z2, temos
z1bar z2+z2bar z1=2Re(z1bar z2)
e, portanto,
|z1+z2|^2=|z1|^2+2Re(z1bar z2)+|z2|^2

Passo 3

Para (b), basta expandir o quadrado da soma de dois números reais positivos:\
(|z1|+|z2|)^2=|z1|^2+2|z1|,|z2|+|z2|^2
Mas como |z1|,|z2|=|z1bar z2|, temos
(|z1|+|z2|)^2=|z1|^2+2|z1bar z2|+|z2|^2

Passo 4

Para ©, combinamos (a) e (b) e usamos a desigualdade do Problema 46, que diz que para qualquer w complexo vale Re(w)<=|w|. Assim,
|z1+z2|^2=|z1|^2+2Re(z1bar z2)+|z2|^2<=|z1|^2+2|z1bar z2|+|z2|^2=(|z1|+|z2|)^2
Finalmente, como ambos os lados são não-negativos, tiramos raiz e obtemos a desigualdade triangular.
O passo final é reconhecer que elevar ambos os lados a raiz quadrada preserva a desigualdade quando os dois lados são não-negativos.

Resposta

Daí segue-se que
|z1+z2|<=|z1|+|z2|,
prova concluída.

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