Determine o domínio de
. Calcule
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira coisa que precisamos fazer é entender o que foi pedido. Temos uma função vetorial
. Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
- Para o primeiro componente,
, não tem restrição: podemos calcular para qualquer valor de . - Para o segundo componente,
, a função exponencial está definida para todos os reais. - Para o terceiro componente,
, o logaritmo natural está definido quando . Então, precisamos que . Como é sempre não negativo, é sempre maior que zero para qualquer .
Portanto, o domínio de
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, que é
. Para derivar uma função vetorial, derivamos cada componente separadamente.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, a primeira derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada de
, que é
. Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, a segunda derivada de
é:
Resposta
- Domínio de
: - Primeira derivada:
- Segunda derivada: