Determine o domínio de F. Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2.
F(t)=(3 t^2, e^-t, ln (t^2+1)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira coisa que precisamos fazer é entender o que foi pedido. Temos uma função vetorial F(t) = (3 t^2, e^-t, ln (t^2+1)) . Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular a primeira e a segunda derivada de F em relação a t .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de t para os quais a função está definida.
  • Para o primeiro componente, 3t^2 , não tem restrição: podemos calcular para qualquer valor de t .
  • Para o segundo componente, e^-t , a função exponencial está definida para todos os reais.
  • Para o terceiro componente, ln(t^2 + 1) , o logaritmo natural ln(x) está definido quando x > 0 . Então, precisamos que t^2 + 1 > 0 . Como t^2 é sempre não negativo, t^2 + 1 é sempre maior que zero para qualquer t .
Portanto, o domínio de F é todos os números reais, ou seja, t in R .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de F(t) em relação a t , que é dFdt . Para derivar uma função vetorial, derivamos cada componente separadamente.
  1. Derivada de 3t^2 em relação a t :
ddt(3t^2) = 6t
  1. Derivada de e^-t em relação a t :
ddt(e^-t) = -e^-t
  1. Derivada de ln(t^2 + 1) em relação a t :
ddt[ln(t^2 + 1)] = 1t^2 + 1 cdot 2t = 2tt^2 + 1
Então, a primeira derivada de F(t) é:
dFdt = (6t, -e^-t, 2tt^2 + 1)

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada de F(t) , que é d^2Fdt^2 . Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada.
  1. Derivada de 6t em relação a t :
ddt(6t) = 6
  1. Derivada de -e^-t em relação a t :
ddt(-e^-t) = e^-t
  1. Derivada de 2tt^2 + 1 em relação a t :
ddt(2tt^2 + 1) = (2)(t^2 + 1) - 2t(2t)(t^2 + 1)^2 = 2t^2 + 2 - 4t^2(t^2 + 1)^2 = -2t^2 + 2(t^2 + 1)^2 = 2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2
Então, a segunda derivada de F(t) é:
d^2Fdt^2 = (6, e^-t, 2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2)

Resposta

  • Domínio de F : t in R
  • Primeira derivada: dFdt = (6t, -e^-t, 2tt^2 + 1)
  • Segunda derivada: d^2Fdt^2 = (6, e^-t, 2(1 - t^2)(t^2 + 1)^2)

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