Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma curva parametrizada por uma função
, onde
varia de
até
. A função é dada por
. Nosso objetivo aqui é desenhar a imagem dessa curva, ou seja, entender como ela se comporta no plano
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente o secante (
) e a tangente (
), e entender como elas se relacionam para formar essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significam
e
.
- Secante (
): É o inverso do cosseno, ou seja, . - Tangente (
): É dada por .
Sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, mas como o domínio de
é
, o cosseno nunca é zero nesse intervalo. Isso significa que
e
estão sempre definidas aqui.
Passo 3
Vamos tentar relacionar
e
para eliminar o parâmetro
. Sabemos que:
Essa é uma identidade trigonométrica fundamental. Vamos chamar
e
. Substituindo na identidade, temos:
Rearranjando, fica:
Passo 4
A equação
é a equação de uma hipérbole padrão. Essa hipérbole está centrada na origem, com seus ramos abertos ao longo do eixo
. Isso nos dá a forma geral da curva que estamos procurando.
Passo 5
Agora, vamos entender o intervalo de
que é
. Quando
se aproxima de
de cima,
se aproxima de 0 e
tende a
, enquanto
tende a
.
Quando
se aproxima de
de baixo,
também se aproxima de 0, mas
tende a
, e
tende a
. Isso significa que a curva abrange todos os pontos da hipérbole
para
e
, exceto onde
, que não está no domínio.
Passo 6
Para desenhar a curva, podemos plotar alguns pontos específicos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Plotando esses pontos e conectando-os com uma curva suave seguindo a equação
, teremos a imagem completa da curva parametrizada.
Resposta
A imagem da curva parametrizada
para
é uma hipérbole definida pela equação
, com ramos abertos ao longo do eixo
, excluindo o ponto onde
. A curva passa pelos pontos
,
e
, e estende-se infinitamente conforme
se aproxima de
.