Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
alpha:(-pi2, pi2) longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(sec (t), tg(t)).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma curva parametrizada por uma função alpha(t), onde t varia de -pi2 até pi2. A função é dada por alpha(t) = (sec(t), tan(t)). Nosso objetivo aqui é desenhar a imagem dessa curva, ou seja, entender como ela se comporta no plano R^2.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente o secante ( sec(t)) e a tangente ( tan(t)), e entender como elas se relacionam para formar essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam sec(t) e tan(t).
  • Secante ( sec(t)): É o inverso do cosseno, ou seja, sec(t) = 1cos(t).
  • Tangente ( tan(t)): É dada por tan(t) = sin(t)cos(t).
Sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, mas como o domínio de t é (-pi2, pi2), o cosseno nunca é zero nesse intervalo. Isso significa que sec(t) e tan(t) estão sempre definidas aqui.

Passo 3

Vamos tentar relacionar sec(t) e tan(t) para eliminar o parâmetro t. Sabemos que:
sec^2(t) = 1 + tan^2(t)
Essa é uma identidade trigonométrica fundamental. Vamos chamar x = sec(t) e y = tan(t). Substituindo na identidade, temos:
x^2 = 1 + y^2
Rearranjando, fica:
x^2 - y^2 = 1

Passo 4

A equação x^2 - y^2 = 1 é a equação de uma hipérbole padrão. Essa hipérbole está centrada na origem, com seus ramos abertos ao longo do eixo x. Isso nos dá a forma geral da curva que estamos procurando.

Passo 5

Agora, vamos entender o intervalo de t que é (-pi2, pi2). Quando t se aproxima de -pi2 de cima, cos(t) se aproxima de 0 e sec(t) tende a -infty, enquanto tan(t) tende a -infty.
Quando t se aproxima de pi2 de baixo, cos(t) também se aproxima de 0, mas sec(t) tende a +infty, e tan(t) tende a +infty. Isso significa que a curva abrange todos os pontos da hipérbole x^2 - y^2 = 1 para x > 0 e x < 0, exceto onde x=0, que não está no domínio.

Passo 6

Para desenhar a curva, podemos plotar alguns pontos específicos:
  • Para t=0: alpha(0) = (sec(0), tan(0)) = (1, 0)
  • Para t = pi4: alpha(pi4) = (sec(pi4), tan(pi4)) = (raiz2, 1)
  • Para t = -pi4: alpha(-pi4) = (sec(-pi4), tan(-pi4)) = (raiz2, -1)
Plotando esses pontos e conectando-os com uma curva suave seguindo a equação x^2 - y^2 = 1, teremos a imagem completa da curva parametrizada.

Resposta

A imagem da curva parametrizada alpha(t) = (sec(t), tan(t)) para t in (-pi2, pi2) é uma hipérbole definida pela equação x^2 - y^2 = 1, com ramos abertos ao longo do eixo x, excluindo o ponto onde x=0. A curva passa pelos pontos (1, 0), (raiz2, 1) e (raiz2, -1), e estende-se infinitamente conforme t se aproxima de pmpi2.

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