Esboce o gráfico das curvas dadas em coordendas polares:
rho=2 sen 2 theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
rho = 2sen(2theta)
Aqui o conteúdo é “curvas em coordenadas polares” do tipo rosa de n pétalas. Vamos usar o comportamento da função seno de 2theta para identificar zeros, máximos e como tratar valores negativos de rho.

Passo 2

Encontramos os zeros de rho resolvendo
sen(2theta)=0 implies 2theta = kpi implies theta = kpi2, kinZ
Assim, para theta=0,pi2,pi,3pi2,2pi temos rho=0. Esses valores dividem o período [0,2pi] em quatro intervalos onde cada pétala vive.

Passo 3

Procuramos os valores extremos de rho:
sen(2theta)=1 quando
2theta = pi2 + 2pi m implies theta = pi4 + mpi,
dando rhomax=2.
sen(2theta)=-1 quando
2theta = 3pi2 + 2pi m implies theta = 3pi4 + mpi,
dando rhomin=-2. Valores negativos de rho se interpretam espelhando o ponto para theta+pi.

Passo 4

Para em cada quarto de volta ao redor de , desenhamos uma pétala de comprimento . As pétalas surgem nos eixos médios:
  • Em e (quando ), com .
  • Em e (quando ), com , que reflete para as direções e .
    Entre esses ângulos varia suavemente de a , formando quatro pétalas idênticas, espaçadas de .

Passo 5

O esboço final é a “rosa” de quatro pétalas de raio 2, centradas nos ângulos
theta=tfracpi4,;tfrac3pi4,;tfrac5pi4,;tfrac7pi4. Cada pétala parte da origem ( rho=0), atinge rho=2 ou reflete a rho=-2 (equivalente a rho=2 no sentido oposto), e volta a zero.

Resposta

A curva é uma rosa de quatro pétalas de comprimento 2, com pétalas apontando nas direções
theta=tfracpi4+kpi2 para k=0,1,2,3.

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