Mostre que a função abaixo possui derivadas parciais não contínuas em (0,0) mas é diferenciável em (0,0).
f(x, y)=cc (x^2+y^2) sen 1x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= (x^2+y^2)senl(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede que mostremos que f é diferenciável em (0,0) embora suas derivadas parciais não sejam contínuas lá. Para isso vamos:
  1. Calcular partial f/partial x(0,0) e partial f/partial y(0,0).
  2. Verificar a definição de diferenciabilidade em (0,0).
  3. Obter a expressão de partial f/partial x para (x,y)neq(0,0) e mostrar que ela não converge para zero quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Cálculo de partial f/partial x em (0,0).
Por definição,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2senl(tfrac1h^2r)h =limhto0h,senl(tfrac1h^2r)
Como l|sen(1/h^2)r|<=1, o limite é 0. Analogamente,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)k =limkto0k,senl(tfrac1k^2r)=0

Passo 3

Verificação da diferenciabilidade em (0,0).
Queremos mostrar
lim(h,k)to(0,0) f(h,k)-0-0cdot h-0cdot kraizh^2+k^2 =0
Para (h,k)neq(0,0) temos
l|f(h,k)r| =l|(h^2+k^2)senl(tfrac1h^2+k^2r)r| <= h^2+k^2,
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0<= l|f(h,k)r|raizh^2+k^2 <=h^2+k^2raizh^2+k^2 =raizh^2+k^2 ;xrightarrow[(h,k)to(0,0)];0
Isso prova que f é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Expressão de partial f/partial x em (x,y)neq(0,0) e falta de continuidade.
Escrevendo r^2=x^2+y^2 e u=r^2, temos
f(x,y)=u,senl(tfrac1ur)
Derivando em relação a x,
partial fpartial x =ddul(usentfrac1ur)cdotpartial upartial x =l[sentfrac1u-tfrac1ucostfrac1ur]cdot2x
Em particular, na reta y=0 (logo u=x^2),
partial fpartial x(x,0) =2x,senl(tfrac1x^2r) -2xx^2cosl(tfrac1x^2r) =2xsenl(tfrac1x^2r)-2xcosl(tfrac1x^2r)
O termo -2cos(1/x^2)/x não tende a 0 quando xto0; de fato oscila com amplitude que cresce sem limite. Assim partial f/partial x(x,0) não converge a partial f/partial x(0,0)=0 e, portanto, partial f/partial x não é contínua em (0,0). De modo análogo para partial f/partial y.

Resposta

Mostramos que partial f/partial x(0,0)=partial f/partial y(0,0)=0, que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)/raizh^2+k^2=0 (logo f é diferenciável em (0,0)) e que as derivadas parciais em pontos distintos de (0,0) não convergem para zero, provando que elas não são contínuas em (0,0).

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